вторник, 15 января 2008
14:03

11 класс, геометрия

все записи пользователя в сообществе kaprizulka_kat
MZ
пожалуйста, помогите решить ! ! ! Очень нужна помощь! ! ! Надо решить задачи по геометрии, 11 класс, до 17 января (четверг). Заранее спасибо.
`TZ`
1. В правильной треугольной пирамиде SABC через сторону AB проведено сечение наименьшей возможной площади, пересекающее ребро SC в точке K.
Известно, что тангенс угла SAB равен 3. Найти отношение SK и KC.

2. Окружность, центр которой лежит внутри квадрата PQRS, касается стороны PQ в точке K, пересекает сторону PS в точках А и В, а диагональ PR - в точках С и D.
Найти радиус окружности, если AB=16, a CD=2 корня из 92.
[[/TZ]]

@темы: Планиметрия, Стереометрия

URL
Комментарии
15.01.2008 в 14:11

Trotil
Что такое AB во второй задаче?
URL
15.01.2008 в 14:31

kaprizulka_kat
АВС-это основание. АВ, ВС, СА-рёбра основания
URL
15.01.2008 в 14:48

Trotil
Основание чего именно?
URL
15.01.2008 в 14:56

kaprizulka_kat
случайно перепутала задачи.
2. Окружность, центр которой лежит внутри квадрата PQRS, касается стороны PQ в точке K, пересекает сторону PS в точках А и В, а диагональ PR - в точках С и D.
Найти радиус окружности, если AB=16, a CD=2 корня из 92.
URL
15.01.2008 в 14:57

Trotil
Вот теперь другое дело :)

Непонятно только... Точка K просто так дана?
URL
15.01.2008 в 15:09

kaprizulka_kat
да
URL
15.01.2008 в 17:41

kaprizulka_kat
вы можете мне помочь?
URL
15.01.2008 в 18:12

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Задание 1 (только решение получается очень длинное)
SM перпендикулярно АВ, М- середина АВ (естественно), СМ перпендикулярно АВ и является медианой, SO, понятно, высота
Чертеж (план решения напишу ниже)

URL
15.01.2008 в 18:13

Trotil
kaprizulka_kat
У меня что-то идей не возникло, хотя на первый взгляд все просто: есть угол в 45 градусов и окружность отсекает от лучей угла опредленные длины.
URL
15.01.2008 в 18:19

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
АКВ - искомое сечение
Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды через а (это фиксированная величина), к пока нам неизвестная точка, такая, что площадь треугольника АКВ наименьшая. По теореме о 3 перпендикулярах КМ перпендикулярно АВ и является высотой треугольника АКВ. Так площадь АКВ=(1/2)*а*КМ, а - фиксированная величина, то площадь будет наименьшей, если величина КМ будет наименьшей
Рассмотрим треугольник МSC, в нем МК некий отрезок, соединяющий М с о стороной SC, он будет наименьшим, если является перпендикуляром к SC, то есть МК перпендикулярно SC и следовательно является высотой треугольника MSC (в принципе получается, что этот отрезок - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым)
Общие рассуждения кончились - начинается счет
URL
15.01.2008 в 18:30

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
1)АМ=а/2, tg(угла SAB)=3, отсюда находим SM=(3/2)a
2)По теореме Пифагора находим длину бокового ребра SA=SB=SC (то есть СS тоже становится известно)
3) Медиана в правильном треугольнике со стороной а СМ=a*sqrt(3)/2
Все стороны треугольника SMC известны
Обозначим SK=х, тогда КС=...-х (по конкретному счету получится
Тогда МК^2=SM^2-x^2
МК^2=MC^2-(...-x)^2
Отсюда
SM^2-x^2=MC^2-(...-x)^2
Находим SK=х, потом КС, потом их отношение
~~
вроде так
URL
15.01.2008 в 18:35

Trotil
Ааа... Дошло решение.

Решается так:

PA = AB/2 + r

PK = sqrt (r^2 - ab^2/4)

OP^2 = [r^2 - ab^2/4] + r^2

По треугольнику СOD можно выразить угол OCD через r.

По углу OCD, ОD и ОP (уже известным) можно построить треугольник POD - а значит и угол OPD.

И наконец 45 градусов = как сумма двух углов - через тригонометрические тождества отсюда можно выразить r.


URL
16.01.2008 в 06:34

kaprizulka_kat
Большое спасибо!
только я не поняла как найти в задаче №2 SA? у меня получилось так:
SA=(а*корень 10)/2. А что дальше?
URL
16.01.2008 в 06:36

kaprizulka_kat
не во второй задаче а в первой( обращение к Robot)
URL
16.01.2008 в 10:21

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
kaprizulka_kat
Да, SA найдено верно. SA=SC
В треугольнике МSС известны теперь все стороны,
Обозначим SK=х, тогда КС=(а*корень 10)/2-х
Выразим МК двумя способами по т. Пифагора
Тогда МК^2=SM^2-x^2
МК^2=MC^2-((а*корень 10)/2-х )^2
Отсюда
SM^2-x^2=MC^2-((а*корень 10)/2-х )^2
(9/4)a^2-x^2=(3/4)a^2-((а*корень 10)/2-х )^2
У меня вроде получается
x* (а*корень 10)=4a^2
SK=x=(4/(корень 10))*a=(2/5)*(корень 10)*a
KC=(а*корень 10)/2-х =(а*корень 10)/2-(2/5)*(корень 10)*a=...
Далее подсчитать и найти отношение SK/KC
URL
22.03.2020 в 13:42

Гость
Здравствуйте, подскажите пожалуйста решение второй задачи(
URL
23.03.2020 в 13:23

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, Здравствуйте, подскажите пожалуйста решение второй задачи(
Этому топику 12 лет... тут мало кто бывает...
Надо было зарегистрироваться, вступить в сообщество и создать свой топик...

====================================

Если не нравится вариант решения от Trotil несколькими комментариями выше, то можно методом координат...

P - начало координат, оси по сторонам квадрата...
`K(0; b)`, `O(R; b)`... по теореме о касательной и секущей (или по теореме Пифагора) получаем связь между параметрами `b^2 = (R - 8)*(R + 8) = R^2 - 64`...
Пишем уравнение окружности `(x - R)^2 + (y - b)^2 = R^2` и находим пересечение с биссектрисой первой четверти (это точки C и D)...
Нас интересует разность `x_D - x_C`, которая равна корню из дискриминанта... если эту разность умножить на `sqrt{2}`, то получим длину отрезка `CD`...

Получили систему из двух уравнений, из которой находите радиус... ответ хороший получается...
URL