Неизвестный смайлик.
*Оптимистично*
Вспомним пройденое!
Т.е. мне наконец выдали (точнее я наконец состыковался с преподавателем) домашнюю работу по рядам.
Пошлифовать надо. Поможете?
Задания и изредка решения
Скажу сразу, что Е - сумма ряда от 0 (или от 1) до бесконечности, хотя даны в большинстве случаев первый, второй и третий член, но я сразу сумму писать буду.
1) E {(n/(n + 1))^2}
Изначально как водится я решил неправильно, поэтому я сейчас подумал и предложил такой способ. Использовать радикальный признак Коши - извлечь корень n-ной степени.
Получившееся выражение после преобразований получится 1/e + 1 - ряд расходится.
Так?
2) Е {1/((3n + 2)ln(3n + 2))} -=- вроде сделано
Я использовал свойство, что ln n < n, при n -> 0 и получил Е {1/(3n + 2)^2)} ~ Е {1/n^2}
Но. Я точно помню = это ряд Дерихе и он обязан просто сходится. А так как полученная вторая сумма меньше, чем изначальна, то нельзя сказать, что ряд схродится.
Ничего другого я тут придумать не могу. Единственное, что приходит в голову, что ряд 1/n^2 все же расходится.
3) ЕП {(6n + 1)/(n + 1))} -=- вроде сделано
ЕП - это не то что вы подумали, а сумма от 1 до бесконечности от произведени от нуля до бесконечности.
Знаю, что его нужно решать как-то там через Далампера, но как именно совершенно без понятия.
4) Е {n^n/(3^n(n!))} -=- вроде сделано.
Решал по методу Далампера и в итоге получился такой придел:
lim (n + 1)^n/3n^n
Я написал, что он равен 1/3 < 1 и ряд сходится. Мне подчеркнули, что неправильно. Вопрос - в чем именно?
5) E {(-1)^n/(ln(n + 1)n)} -=- вроде сделано.
То же что и во втором задании. Точно так же привел к 1/n^2 и сказал, что он сходится. Только мне подчеркнули это. Видимо не сходится.
6) Разложить ряд по формуле Тейлора
f(x) = ln (1 + x - 6x^2) -=- вроде сделано
ln (1 + x) = E{((-1)^(n - 1) x^n)/n}
1 + x - 6x^2 = 6(x + 1/3)(-x + 1/2)
ln (6(x + 1/3)(-x + 1/2)) = ln (6) + ln (x + 1/3) + ln(1/2-x) = ln (6) + ln (1/3) + ln (3x + 1) + ln (1/2) + ln (1 - x/2) = ln (3x + 1) + ln (1 - x/2)
ln (3x +1) = E {(-1)^(n-1) (3x)^n/n}
ln (-x/2 +1) = E {(-1)^(n-1) (-x/2)^n/n} = E {(-1)^(2n-1) x^n/(n*2^n)}
f(x) = E {(-1)^(n-1) (3x)^n/n} + E {(-1)^(2n-1) x^n/(n*2^n)}
Подчеркнул конец четвертой строчки. Ошибка в вычислении, но я в упор ее не вижу.
7) {[опр.инт.]от 0 до 0,2} e^(-3x^2)dx, с точностью эпсилон равное 0.001
Подсчитать интеграл с заданной точностью.
e^(-3x^2) = E {(-3x)^2n/n!} = 1 + 9x^2/1! + 81x^4/2! + 729x^6/3! + O(x^6) = 1.431 +- 0.001
Просто зачеркнул ответ. Вроде все верно.
8) {[опр.инт.]от 0 до 1} e^(-x^2/2)dx с точностью эпсилон равное 0.001
e^(-x^2/2) = E {(x/2)^2n/n!} = 1 + x^2/4*1! + x^4/16*2! + x^6/64*3! + O(x^6) = 1.283 +- 0.001
Так же зачеркнуто.
9) y' = e^x - y^2 y(0)=0
y = y(xo) + y' (xo)x/1! + y'' (xo)(x-xo)^2/2! + y'''(xo)(x-xo)^3/3! + O((x-xo)^3)
y(xo) = 0
y'(xo) = e^x - y^2 = 1
y''(xo) = e^x - 2yy' = 1
y'''(xo) = e^x - 2yy'y' - 2yy'y''= e^x - 2yy'^2 - 2yy'y'' = 1
y = x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^3)
Ошибка в раскрытии третьей производной. Подозреваю что-то я там с игреками намутил.
-=-=-=-=-=-
Второе ИДЗ
Там всего три задания, не в пример первому с его сорока. Не сильно удивительно, что из них два я не сделал
1) Вычислить криволинейный интеграл по прямой АБ, гда А(1.1) Б(3.4) от {(x^2-y^2)dx + xydy}
Для начала уравнение прямой: y = (3x - 1)/2; dy = dx3/2
Вычислять будем по иксу. Тогда интеграл будет определенны от 1 до 3:
int {(x^2 - ((3x - 1)/2)^2)dx + (3x(3x - 1)/4)dx} = int {((4x^2 + 3x - 1)/4)dx} = 67/6
Ошибка где-то в вычислениях.
2) (y/SQRT(1 - x^2*y^2) + 2x)dx + (x/SQRT(1 - x^2*y^2) + 6y) = 0
Нужно проверить явлется ли выражение полным дифферинциалом фунциин U и найти фунцию U.
Задание совершенно простое, наверное поэтому его вообще никто у нас не сделал
Сейчас d - это будет частная производная.
dP/dy = (SQRT(1 - x^2*y^2) + 2y^2*x^2)/(1 - x^2*y^2)
dQ/dx = (SQRT(1 - x^2*y^2) + 2y^2*x^2)/(1 - x^2*y^2)
dP/dy = dQ/dx значит U существует и мы его можем найти.
U = int (0,x) {2xdx} + int (0,y) {(x/SQRT(1 - x^2*y^2) + 6y)dy} = x^2 + x *int (0,y) {dy/SQRT(1 - x^2*y^2)} + 3y^2 = x^2 + 3y^2 +x*arcsinxy + C
Это, если можно, до завтра.
-=-=-=-=-
И еще новое ИДЗ я его не сдавал еще. Его пока бессрочно, я еще препода по нему подостаю у народа поинтересуюсь, но самому тоже интересно.
Вообще, с этим примером много чего надо сделать и извратится по всякому и спреподвывертом, я приведу только одно задание, которое точно знаю как делать и которое не желает у меня сходится.
F = (x + z)i + zj + (2x - y)k
P: 2x + 2y + z = 4
Нужно найти циркуляцию по чему-то там.
Нужно нарисовать плоскость в трехмерной декартовой системе координат, по этому уравнению 2x + 2y + z = 4 или x/2 + y/2 + z/4 = 1
Отсюда получаем, что плоскость пересечет линии координат в точках (2,2,4). Эти точки пересечения обозначим А,Б,С соответственно.
Согласно теории потом будет двигаться против часовой стрелки от А к Б, от Б к С, и от С к А
Полная циркуляция будет равна простой сумме трех циркуляций от А к Б, от Б к С, и от С к А.
Цаб = int (АБ) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Rdz будет равно нулю так как z постоянна на всей циркуляции// = int (AБ) {xdx} = int (0,2) {xdx} = -2
Цас = int (АС) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Qdz будет равно нулю так как y постоянна на всей циркуляции// = int (АС) {(x + z)dz + 2xdz} = int (0, 2) {(-5x+4)dx} = -2
Цбс = int (БС) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Pdz будет равно нулю так как x постоянна на всей циркуляции// = int (БС) {zdy - ydz} = int (2, 0) {4dy} = -8
Ц = -12
Все бы хорошо, но надо этот Ц найти двумя способами. Вот второй:
Ц = int (C) F*ldl = int int (S) rot F*no*dS
n(2,2,4)
no(1/sqrt(6),1/sqrt(6),2/sqrt(6))
rot F = определителю первая строчка: (i, j, k), вторая строчка: (d/dx,d/dy,d/dz), где d - частная производная, третья строчка: (P,Q,R) = (-2,-1,0)
rot F* no = -3/sqrt(6)
Ц = -3/sqrt(6) int int (S) {ds} = -3/sqrt(6) int int (Д) {SQRT (1 + z(x)'^2 + z(y)'^2)dxdy} = - 3sqrt(6)/2 int (0, 2) dx int (0, 2 - x) dy = - 3sqrt (6)
Как видите не совпадает с -12, что получилось из первого. Но это можно не делать, я еще поспрашиваю.
Вспомним пройденое!
Т.е. мне наконец выдали (точнее я наконец состыковался с преподавателем) домашнюю работу по рядам.
Пошлифовать надо. Поможете?
Задания и изредка решения
Скажу сразу, что Е - сумма ряда от 0 (или от 1) до бесконечности, хотя даны в большинстве случаев первый, второй и третий член, но я сразу сумму писать буду.
1) E {(n/(n + 1))^2}
Изначально как водится я решил неправильно, поэтому я сейчас подумал и предложил такой способ. Использовать радикальный признак Коши - извлечь корень n-ной степени.
Получившееся выражение после преобразований получится 1/e + 1 - ряд расходится.
Так?
2) Е {1/((3n + 2)ln(3n + 2))} -=- вроде сделано
Я использовал свойство, что ln n < n, при n -> 0 и получил Е {1/(3n + 2)^2)} ~ Е {1/n^2}
Но. Я точно помню = это ряд Дерихе и он обязан просто сходится. А так как полученная вторая сумма меньше, чем изначальна, то нельзя сказать, что ряд схродится.
Ничего другого я тут придумать не могу. Единственное, что приходит в голову, что ряд 1/n^2 все же расходится.
3) ЕП {(6n + 1)/(n + 1))} -=- вроде сделано
ЕП - это не то что вы подумали, а сумма от 1 до бесконечности от произведени от нуля до бесконечности.
Знаю, что его нужно решать как-то там через Далампера, но как именно совершенно без понятия.
4) Е {n^n/(3^n(n!))} -=- вроде сделано.
Решал по методу Далампера и в итоге получился такой придел:
lim (n + 1)^n/3n^n
Я написал, что он равен 1/3 < 1 и ряд сходится. Мне подчеркнули, что неправильно. Вопрос - в чем именно?
5) E {(-1)^n/(ln(n + 1)n)} -=- вроде сделано.
То же что и во втором задании. Точно так же привел к 1/n^2 и сказал, что он сходится. Только мне подчеркнули это. Видимо не сходится.
6) Разложить ряд по формуле Тейлора
f(x) = ln (1 + x - 6x^2) -=- вроде сделано
ln (1 + x) = E{((-1)^(n - 1) x^n)/n}
1 + x - 6x^2 = 6(x + 1/3)(-x + 1/2)
ln (6(x + 1/3)(-x + 1/2)) = ln (6) + ln (x + 1/3) + ln(1/2-x) = ln (6) + ln (1/3) + ln (3x + 1) + ln (1/2) + ln (1 - x/2) = ln (3x + 1) + ln (1 - x/2)
ln (3x +1) = E {(-1)^(n-1) (3x)^n/n}
ln (-x/2 +1) = E {(-1)^(n-1) (-x/2)^n/n} = E {(-1)^(2n-1) x^n/(n*2^n)}
f(x) = E {(-1)^(n-1) (3x)^n/n} + E {(-1)^(2n-1) x^n/(n*2^n)}
Подчеркнул конец четвертой строчки. Ошибка в вычислении, но я в упор ее не вижу.
7) {[опр.инт.]от 0 до 0,2} e^(-3x^2)dx, с точностью эпсилон равное 0.001
Подсчитать интеграл с заданной точностью.
e^(-3x^2) = E {(-3x)^2n/n!} = 1 + 9x^2/1! + 81x^4/2! + 729x^6/3! + O(x^6) = 1.431 +- 0.001
Просто зачеркнул ответ. Вроде все верно.
8) {[опр.инт.]от 0 до 1} e^(-x^2/2)dx с точностью эпсилон равное 0.001
e^(-x^2/2) = E {(x/2)^2n/n!} = 1 + x^2/4*1! + x^4/16*2! + x^6/64*3! + O(x^6) = 1.283 +- 0.001
Так же зачеркнуто.
9) y' = e^x - y^2 y(0)=0
y = y(xo) + y' (xo)x/1! + y'' (xo)(x-xo)^2/2! + y'''(xo)(x-xo)^3/3! + O((x-xo)^3)
y(xo) = 0
y'(xo) = e^x - y^2 = 1
y''(xo) = e^x - 2yy' = 1
y'''(xo) = e^x - 2yy'y' - 2yy'y''= e^x - 2yy'^2 - 2yy'y'' = 1
y = x + x^2/2! + x^3/3! + O(x^3)
Ошибка в раскрытии третьей производной. Подозреваю что-то я там с игреками намутил.
-=-=-=-=-=-
Второе ИДЗ
Там всего три задания, не в пример первому с его сорока. Не сильно удивительно, что из них два я не сделал
1) Вычислить криволинейный интеграл по прямой АБ, гда А(1.1) Б(3.4) от {(x^2-y^2)dx + xydy}
Для начала уравнение прямой: y = (3x - 1)/2; dy = dx3/2
Вычислять будем по иксу. Тогда интеграл будет определенны от 1 до 3:
int {(x^2 - ((3x - 1)/2)^2)dx + (3x(3x - 1)/4)dx} = int {((4x^2 + 3x - 1)/4)dx} = 67/6
Ошибка где-то в вычислениях.
2) (y/SQRT(1 - x^2*y^2) + 2x)dx + (x/SQRT(1 - x^2*y^2) + 6y) = 0
Нужно проверить явлется ли выражение полным дифферинциалом фунциин U и найти фунцию U.
Задание совершенно простое, наверное поэтому его вообще никто у нас не сделал
Сейчас d - это будет частная производная.
dP/dy = (SQRT(1 - x^2*y^2) + 2y^2*x^2)/(1 - x^2*y^2)
dQ/dx = (SQRT(1 - x^2*y^2) + 2y^2*x^2)/(1 - x^2*y^2)
dP/dy = dQ/dx значит U существует и мы его можем найти.
U = int (0,x) {2xdx} + int (0,y) {(x/SQRT(1 - x^2*y^2) + 6y)dy} = x^2 + x *int (0,y) {dy/SQRT(1 - x^2*y^2)} + 3y^2 = x^2 + 3y^2 +x*arcsinxy + C
Это, если можно, до завтра.
-=-=-=-=-
И еще новое ИДЗ я его не сдавал еще. Его пока бессрочно, я еще препода по нему подостаю у народа поинтересуюсь, но самому тоже интересно.
Вообще, с этим примером много чего надо сделать и извратится по всякому и спреподвывертом, я приведу только одно задание, которое точно знаю как делать и которое не желает у меня сходится.
F = (x + z)i + zj + (2x - y)k
P: 2x + 2y + z = 4
Нужно найти циркуляцию по чему-то там.
Нужно нарисовать плоскость в трехмерной декартовой системе координат, по этому уравнению 2x + 2y + z = 4 или x/2 + y/2 + z/4 = 1
Отсюда получаем, что плоскость пересечет линии координат в точках (2,2,4). Эти точки пересечения обозначим А,Б,С соответственно.
Согласно теории потом будет двигаться против часовой стрелки от А к Б, от Б к С, и от С к А
Полная циркуляция будет равна простой сумме трех циркуляций от А к Б, от Б к С, и от С к А.
Цаб = int (АБ) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Rdz будет равно нулю так как z постоянна на всей циркуляции// = int (AБ) {xdx} = int (0,2) {xdx} = -2
Цас = int (АС) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Qdz будет равно нулю так как y постоянна на всей циркуляции// = int (АС) {(x + z)dz + 2xdz} = int (0, 2) {(-5x+4)dx} = -2
Цбс = int (БС) {Pdx + Qdy + Rdz} = // здесь Pdz будет равно нулю так как x постоянна на всей циркуляции// = int (БС) {zdy - ydz} = int (2, 0) {4dy} = -8
Ц = -12
Все бы хорошо, но надо этот Ц найти двумя способами. Вот второй:
Ц = int (C) F*ldl = int int (S) rot F*no*dS
n(2,2,4)
no(1/sqrt(6),1/sqrt(6),2/sqrt(6))
rot F = определителю первая строчка: (i, j, k), вторая строчка: (d/dx,d/dy,d/dz), где d - частная производная, третья строчка: (P,Q,R) = (-2,-1,0)
rot F* no = -3/sqrt(6)
Ц = -3/sqrt(6) int int (S) {ds} = -3/sqrt(6) int int (Д) {SQRT (1 + z(x)'^2 + z(y)'^2)dxdy} = - 3sqrt(6)/2 int (0, 2) dx int (0, 2 - x) dy = - 3sqrt (6)
Как видите не совпадает с -12, что получилось из первого. Но это можно не делать, я еще поспрашиваю.
@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Математический анализ, Ряды, Векторный анализ
-
-
26.11.2007 в 12:20-
-
26.11.2007 в 12:29А я завтра уезжаю на несколько дней((((
Будем надеяться на сообщество
-
-
26.11.2007 в 12:35Если до завтра никто не скажет - сотру, просто завтра консультация и я на ней хотел сдать. Ну а раз так, то я на ней же и спрошу все меня интересующее прямо у препода.
-
-
26.11.2007 в 12:36-
-
26.11.2007 в 12:38Начал что-то по сабжу писать... Но раз автор не хочет - его право.
-
-
26.11.2007 в 12:41Не стирай
Укажи только для первой части, что оно нужно к завтрашнему дню
я тут никому не доверяю кроме тебя
Ты мне льстишь.
Но на самом деле здесь есть куча людей, которые в этих вопросах разбираются лучше меня
-
-
26.11.2007 в 12:42Ой, ну пожалуйста, продолжай, очень тебя прошу))))
-
-
26.11.2007 в 12:43Trotil можно доверять!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Голову на отсечение даю.
-
-
26.11.2007 в 12:43А зачем ему тут висеть не сделанному? Вот если сделают, тогда не буду.
Trotil это шутка была, вообще то. Но видимо неудачная и не к месту -_-
-
-
26.11.2007 в 12:45Я вот давеча хотел в Паломник Пессимизма переменовываться Robot как тебе идея? Сразу глупые вопросы по поводу шуток и заявления, что все мои шутки тупые и сам я такой же перестанут сыпаться
-
-
26.11.2007 в 12:48Паломник Оптимизма , и правда, часто шутит.
Почитай его дневник - там полно юмора. Я всегда его читаю, когда у меня печально на душе.
Прости его, пожалуйста.
-
-
26.11.2007 в 12:48Паломник Оптимизма
Просто привычка понимать все буквально.
Я вечером приду и напишу, что хотел
и правда, часто шутит.
Да я тоже пошутил )))
Robot
Спасибо большое за доверие!
-
-
26.11.2007 в 12:52Заранее спасибо!
-
-
26.11.2007 в 12:55Robot ты я вижу теперь вообще всем и каждому мой дневник пиаришь? Стоит мне влезть в дисскусию тут же следует - почитайте его дневник и дальше фразы по ходу дискуссии. Эх, что-то тут нечисто...
-
-
26.11.2007 в 13:22Ничего изобретать не надо особо
-
-
26.11.2007 в 13:24И советую сначала проверять предел n-ого члена при n->бесконечность
-
-
26.11.2007 в 13:29-
-
26.11.2007 в 13:49Там очевидно, что n-ый член к 6 стремится.
-
-
26.11.2007 в 13:52-
-
26.11.2007 в 13:56-
-
26.11.2007 в 14:00-
-
26.11.2007 в 14:26-
-
26.11.2007 в 14:32-
-
26.11.2007 в 14:36Ищи не объяснений, почему там 1, а ищи другой способ
В 4 у меня тоже получается что-то такое (1/3)*(n+1/n)^n=(1/3)*(1+1/n)^n
Только при n, стремящемся к бесконечности второй множитель стремится к е
-
-
26.11.2007 в 14:38На счет четвертого, я лично просто сократил. Хотя ответ тот же все равно получится, только с другим условием уже.
-
-
26.11.2007 в 14:46Почему должен?
Если бы он равен 0, то ряд сходится, если 1, ничего сказать нельзя. В первом что с признаком Даламбера, что с радикальным признаком он равен 1
В 4 я лично просто сократил
Как это просто сократил?
Ведь предел (1/3)*(1+1/n)^n= (1/3)*е, а не 1/3
-
-
26.11.2007 в 14:57А сократил очень просто. Нас учили что если у примеру стоят одинаковые числа со степениями n, n-1, n-2, n-3, сверху, а снизу n (к примеру), то при приделе при n стремящимся к бесконечности степенями ниже n можно пренебречь, так как они будут не котироваться рядом со степенью n.
Отсюда я сделал вывод, что сверху максимальное число это n^n и снизу 3n^n, соккрати их друг на друга и получил 1/3
-
-
26.11.2007 в 15:10((n+1)/n)^n= делим почленно=(1+1/n)^n - это замечательный предел
И еще раз - если предел равен 1, то о сходимости ничего сказать нельзя
Я не поняла, что там у тебя с 0 и 1
Я вовсе не говорила, что в первом задании предел 0
Я не решала его. Просто считая по радикальному признаку, мы получаем в пределе 1
-
-
26.11.2007 в 15:15-
-
26.11.2007 в 15:19Т.е. lim П {(6n + 1)/(n + 1))}
Вот тут я не могу вот так сразу с разбега сказать, что предел будет равен 6.