Теория функций комплексного переменного

[Ыц]

Примечание Robot: Срочно! Кто нибудь знает как изобразить множество комплексных чисел z, для которых arg(z+i)>pi/4


Здраствуйте!
Задание такое:
Вычертить область, заданную неравенствами
|z|<=1
arg(z+i)>pi/4

аргумент, это по идее угол..но не понимаю, как построить arg(z+i)

Помогите, до полуночи где-то...)

запись создана: 11.11.2007 в 14:05

@темы: Комплексные числа, ТФКП

Comments

z = |z|*exp(i*fi) - |z| - модуль комплексного числа, fi - аргумент
argz = fi

[Ыц]

yaru

я знаю эту формулу, но от этого не легче.
|z|<=1 - строим, получаем внутреннюю часть окр-ти радиуса 1.

был бы arg(z)>pi/4 я бы просто отсекла 1/8 окр-ти, но аргумент-то от z+i!

z+i=a+i(b+1) => arg(z+i)=arctg(b+1/a)

неужели я должна это строить??

[Robot]

Ыц
А если бы аргумент был от z смогла бы построить?
И вообще у вас аргумент берется от 0 до 2пи или от -пи до пи?

[Ыц]

Robot

ну..так аргумент z вроде как угол..вот я бы и отсекла от окружности 1/8. или я не права?
а как берется не указано.

[Robot]

Множество комплексных чисел , у которых аргумент равен ровно пи/4 - это луч под углом в 45 градусов к оси Ох с выколотым началом в точке О(0,0). (Круг мы пока не трогаем), а если аргумент больше, то это будет часть плоскости, если крутить от этого луча до оси Ох (сам луч надо штриховкой, так как неравенство строгое
В нашем случае приходится иначе

Раз надо только нарисовать, то можно поступить следующим образом
Изображаешь луч для z+i (тогда числа с arg(z+i)>pi/4 будут заполнять часть плоскости, если идти против часовой стрелки, но это не надо штриховать)
Спускаешь точку вниз и изображаешь луч для z
Искомые числа arg(z+i)>pi/4- это те аргумент которых больше, чем у того z, который изображен на рисунке
Штрихуешь часть плоскости против часовой стрелки от этого луча и до оси ОХ (сам луч не входит)
А потом находишь пересечение c кругом |z|<=1 (только это не внутренняя часть круга, окружность, его ограничивающая, тоже входит)

[Ыц]

Robot
вроде как..arg z=tg (y/x)=pi/4
получаем прямую y=x,ну и далее по неравенству..

а..

тогда arg(z+i)=tg((y+1)/x)=pi/4
y+1=x
прямая..смещенная по х вправо..так что ли? и всего-то?

большое спасибо вам, Robot

[Robot]

Нет, это не прямая

y+1=x

А вот тот луч, который у меня нарисован ниже

[Ыц]

блин..

тогда я не понимаю как вы строите эти лучи

[Robot]

Я тут сама засомневалась

[Robot]

Наверное, то что я написала выше - неверно

[Ыц]

скажите, мне хоя бы надеяться на что-нибудь?))

[Robot]

Я подумаю еще и еще сейчас подниму надпись с примечанием

[Хранитель печати]

Robot
аргумент комплексного числа обладает следующими свойствами:
cos phi = Re {Q} / |Q|
sin phi = Im {Q} / |Q|
Рассмотрим комплексное число Q = z +j,
где, в свою очередь, z = x + jy
|Z| = sqrt (x^2+y^2), таким образом, |z|=1 - это единичная окружность с центром в начале координат
|Q| = sqrt(x^2 + (y+1)^2), таким образом, |Q|=1 - это единичная окружность, смещённая на 1 единицу вниз по мнимой оси.
В системе координат, связанной с числом Q, аргумент Q интерпретируется как угол на этой единичной окружности. Следовательно, ответ будет даваться областью пересечения лучей, соответствующих значению pi/4, с единичной окружностью, сдвинутой по оси IM на 1 вверх. По-моему, так.

[Хранитель печати]

получается что-то вроде этого (закрашенная область):

** извинения, начальный рисунок был неверным.

[Дилетант]

Хранитель печати а зачем нам рисовать |Q|=1? Нам ведь надо это для круга |z|<=1 надо делать? Нет?

[Хранитель печати]

Дилетант |Q|=1 лишь вспомогательная окружность *), чтобы нарисовать arg Q =). На финальном рисунке, как видно, она не учитывается при формировании области. Скажем так, иногда параллельным переносом проще работать *)

[Ыц]

Robot,Хранитель печати

Большое Вам спасибо. Разобралась

[Robot]

А не вот так будет?

[Дилетант]

Robot Хранитель печати
по-моему, вы мудрите. У Robot (как мне кажется), сначала было правильно (только я одно место не совсем понимаю).

Штрихуешь часть плоскости против часовой стрелки от этого луча и до оси ОХ (сам луч не входит)А потом находишь пересечение c кругом |z|<=1 (только это не внутренняя часть круга, окружность, его ограничивающая, тоже входит)

Почему только до оси Ох?
Или до "положительной" оси Ох (в I и VI квадрантах)?
У меня получается, что до этой "положительной полуоси" нужно вниз (по часовой стрелке) отступить на тот же угол, на который отличаются на рисунке две прямых: для z и для z+1.
Нет?
Я не туда?

[Дилетант]

Robot ой...
объясни!

[Дилетант]

Хранитель печати Robot всё... кажется дошло... ну даете! ))))

[Robot]

Дилетант
Да, до положительной полуоси

[Robot]

Хранитель печати
Разве отрицательный?
Там же 2пи/3, пи и т.д.

[Хранитель печати]

Robot
да, так. Ступил. Ограничил аргумент значением pi/2 Последний твой рисунок правильный

Ыц
Учтите, пожалуйста, финальные исправления от Robot!

[Robot]

Я вот еще поэтому спрашивала, какие они берут главные значения аргумента

аргумент берется от 0 до 2пи или от -пи до пи?

Потому что если второй случай - от -пи до пи - там должно быть по другому

Голова уже совсем не варит(((

[Дилетант]

Robot насчет головы — кто бы говорил!

[Хранитель печати]

Robot нет. И в том случае, если от 0 до 2пи, должно быть так же: тогда аргумент больше pi/4 по всей окружности, кроме первой 1/8, но нижняя часть не попадает в условие |z|<1. с интервалом от -pi до pi всё верно: аргумент больше pi/4 в интервале углов от (pi/4) до pi. Поскольку единичная окружность для Q смещена вниз, то получается, что до луча y=-1 (соответствующего углу pi) мы просто не добираемся из-за ограничений на |z|.

Кстати, каноническое определение аргумента (-pi;pi)

[Ыц]

Хранитель печати

спасибо, я в принципе поняла)

[Robot]

Хранитель печати
А я встречала другое каноническое определение главного аргумента)

[Robot]

Ыц
Кстати, окружность в рисунок входит, а хорда нет, то есть она должна изобажаться штриховкой (так, по-моему, поскольку неравенство для аргумента строгое)