Геометрия. 8 класс, вектора.

[Helliera]

Помогите, пожалуйста, решить задачу до вечера завтра:
Точка С делит отрезок АВ в отношении m:n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство: вектор ОС= n/(m+n)*вектор ОА + m/(m+n)*вектор ОB.
Сама пыталась выразить вектор Ос сначала через АО и АС, потом через СВ и ОВ...только совсем не понимаю, что дальше делать(

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Гость]

Доказательство довольно просто.
Заметим следующее:

ОС - ОА = m/(m+n) AB,

и

ОВ - ОС = n/(m+n) АВ,

откуда

n (ОС - ОА) = m (ОВ - ОС).

[Хранитель печати]

Helliera
Можно и через координаты векторов:
Поместим точку A в начале координат, а вектор AB направим вдоль оси абсцисс. Пусть точка O лежит на прямой AB. Обозначим координату точки O как (x)
Тогда имеем следующие координаты:
A(0); C(m); B(m+n); O(x).
OA = {-x}
OB = {m+n-x}
OC = {m-x}
Вектор n/(m+n)OA будет иметь координаты {-nx/(m+n)}, вектор m/(m+n)OB = {(mm+mn-mx)/(m+n)}.
Сумма этих векторов даст {(m(m+n)-x(m+n))/(m+n)}={m-x}, то есть координату вектора OC

Аналогичным образом можно рассмотреть пространство любой размерности (т.е. произвольное положение точки O относительно прямой AB)

[Helliera]

Спасибо большое!