Московская математическая олимпиада состоялась в это воскресенье в МГУ. Собственно задания 11 класса.
В коментариях напишу мои ответы. хотелось бы узнать решения того, что не получилось.
1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2,…, 20. Если секторы занумерованы, например (как при игре в дартс), в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12–9=3 (из большего числа вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?
2. Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x-4-x=2cos ax, 4x+4-x=2cos ax+4
равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
3. Каким может быть произведение N нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения N.
4. Точка O лежит в основании A1A2…An пирамиды SA1A2… An, причем SA1=SA2=…=SAn и ∠SA1O=∠SA2O=…=∠SAnO. При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?
5. Квадрат состоит из n x n клеток: две противоположные угловые клетки — черные, а остальные — белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки этого квадрата?
6. Точки A', B' и C' — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH — его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то ∠ABM=∠CBB'.
7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:
а) через 3 шага с точностью до 0,3;
б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?
В коментариях напишу мои ответы. хотелось бы узнать решения того, что не получилось.
1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2,…, 20. Если секторы занумерованы, например (как при игре в дартс), в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12–9=3 (из большего числа вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?
2. Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x-4-x=2cos ax, 4x+4-x=2cos ax+4
равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
3. Каким может быть произведение N нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения N.
4. Точка O лежит в основании A1A2…An пирамиды SA1A2… An, причем SA1=SA2=…=SAn и ∠SA1O=∠SA2O=…=∠SAnO. При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?
5. Квадрат состоит из n x n клеток: две противоположные угловые клетки — черные, а остальные — белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки этого квадрата?
6. Точки A', B' и C' — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH — его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то ∠ABM=∠CBB'.
7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:
а) через 3 шага с точностью до 0,3;
б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?
-
-
07.03.2007 в 00:061) 20, 10, 19, 9, 18, 8, 17, 7, 16, 6, 15, 5, 14, 4, 13, 3, 12, 2, 11, 1
наибольшее возможное значение 9
2)1
3) 6, 42
4)3
5) 2n-4
6)?
7)?
-
-
07.03.2007 в 01:027.я, видимо, туплю: о каких прямых идет речь в 7задаче? типа мн-во прямых на плоскости х0у?
-
-
07.03.2007 в 02:21-
-
07.03.2007 в 03:25нельзя, короче. мин.периметр для фигуры, вписанной в окружность 2+2*(2^0.5), макс -->2*Pi.
зажать какую-то фигуру 3мя приближениями как будто бы не получается, в том случае, если не указывается точно число точек пересечения.
-
-
07.03.2007 в 05:28-
-
10.03.2007 в 21:29два дня думал, как решать 7номер, смог только с производной, которые на олимпиадах в мгу, насколько помню, не оч.любят
-
-
10.03.2007 в 21:37-
-
29.03.2007 в 18:36-
-
29.03.2007 в 18:37-
-
29.03.2007 в 20:57не знаю толком, правильная идея но не оформленная ,или неправильная.
свое могу выложить.