[Фарфарелло]

Геометрия.
Контрольная работа.
11 класс.
Сдать надо в понедельник (29.01.07)

1. Радиус основания конуса 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30. Найти: а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящую через две образующие, угол между которыми равен 60. б) Площадь боковой поверхности конуса.

2. Диаметр шара равен 4 м. Через конец диаметра проведена плоскость по углом 30 к шару. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

Прорешав 8 задач из этой контрольной я малость офигела и не могу решить эти две, хотя, подозреваю, они не очень сложные... Помогите, пожалуйста

@темы: Стереометрия

Comments

[Паломник Оптимизма!]

Первое. Под а)

Так как Площадь сечения - энто треугольник. Причем равнобедренный, причем с вершиной равный 60 градусов. Значит равносторонний треугольник. Так как основание - диаметр конуса и равна соответственно 12 как и все остальные стороны.

Вроде была там формула какая-то про площадь равностороннего треугольника, но я ее не вспомнил, поэтому ну ее =)

Опускаем из вершины высоту. Длинну энтой высоты обозначим за Х. Второй катет есть равен 6 И гипотенуза равна 12 Тогда Х = SQRT (108) т.е. корень квадратный из 108.

Дальше множим эту высоту на диаметр и делим на два (так как треугольник). В итоге получим что площадь равна 18 SQRT (3)

[Паломник Оптимизма!]

Под б)

Честно говоря забыл как вычислять площадь кругового сектора поэтому поступим по хитрому =)

Зная что площадь ВСЕГО конуса вычисляется по формуле S1 = пR(R + L) Где R - радиус основания, а L образующая вычислим плозадь всего и отнимим от нее площадь основания (жесть так делать конечно =) ), которое вычисляется соответственно по формуле S2 = п R^2

S1 = п 6 (6 + 12) = 108 п

S2 = п 6^2 = п 36

S = 72 п

[Паломник Оптимизма!]

Второе. Если нарисовать кружочек и опустить вертикально диагональ, а потом плюнуть на эту муть и пойти смотреть мультики можно неплохо провести время =)

Ладно.

С верхнего конца например влево и вниз проведем прямую (которая на самом то деле плоскость) которая будет пересекать нашу окружность (которая на самом то деле злобный тиранозавр рекс шар) в двух точках (а на самом то деле в туевой хуче - ибо по окружности).

Так вот.

Что бы это все понятнее звучало (т.е. чтобы вы запутались окончательно) введем обозначения.

АВ - диаметр, причем А - точка откуда откладываем плоскость.

АС - собственно плоскость.

О - середина АВ.

ОD - перпендикуляр к СА.

Зная что АВ = 4 нетрудно догодаться что АО = 2

Собственно так как это шар СО = 2 тоже.

Углы САО и ОСА равны и равны они 30 градусам по условию.

ОD перпендикуляр по построению.

Если рассмотреть треугольник ОСD, то можно заметить, что он прямоугольный и один из углов равен 30градусов. Значит лежажий против него катит относится ко второму катету как 1\2.

Если мы будем считать что СD = х то получим уравнение: x^2 + 4x^2 = 4

Отсюда найдем Х = SQRT (4/5)

Значит СD мы нашли. Так как треугольник СОА равнобедренный то СD = DA

Следовательно, то что мы нашли - является радиусом окружности искомой.

Площадь ее S = п R^2

S = п 4/5

[Паломник Оптимизма!]

Робот! Проверь! А то я в 10 утра не соображаю нифига...

[Rain_man]

Половина Ночи



2. Диаметр шара равен 4 м. Через конец диаметра проведена плоскость по углом 30 к шару. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.



1) б) Из вышесказанного тырим образующую = 12.

Sбок = 1/3*Pi*R*H (по-моему) = 24П

на а часть - есть такая хорошая формула - S = 1/2*a*b*sinA, т.е половина произведения сторон треугольника на угол между ними



2. Сечением шара будет так же круг(или как оно) . Нам нужен его радиус.

R = 2(это изначальный шар), тупил я долго...

Но гениальное просто.

Делаем сечение, чертёж, т.п., забираем оттуда треугольник, назовём ABC, состоит из диаметра секущего круга - AB , диаметр - AC , и соединение концов.

BO - радиус.

BO = AO = 2.

ABO - равнобедренный, с углами в основании по 60, значит равносторонний. Тогда AB = 4.

=> искомый радиус = 2. Sсеч = Pi*r*r = 4П

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man что-то у нас разные решения не находишь? =))

[Rain_man]

Паломник Оптимизма

Да. Я с углом накосячил кажется.

Сейчас турнир доиграю и посмотрю

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man на счет первой ты может и прав - такая формула теоретически существует, но я ее не помню в упор =)

С другой стороны, почему тогда не прав я? Мои же методом точно такой же ответ должен получится.

А с шаром ты там накосячил в том плане что взял за уго 60 градусов. А он то нам дан тридцать. Поэтому надо вычислать по формуле пиагора дополнительно радиус, а не сразу говорить что они там все равны =)

[Rain_man]

Паломник Оптимизма

Теоретически?

Выводится на бумажке в две строчки)))

Радиус считаем во второй по теореме синусов)

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man так ить в том то и дело что бумажки нету =( Лень вставть и идти. А ведь еще и ручка нужна!

[Rain_man]

В голове подумай.

Формула вполне очевидная)

А кто-то геометрию школьную подзабыл))

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man короче робот придет скажет =) Я ей вполне доверяю )

[Rain_man]

Паломник Оптимизма

Всё. Закончил играть.

Делаем сечение, чертёж, т.п., забираем оттуда треугольник, назовём ABC, состоит из диаметра секущего круга - AB , диаметр - AC , и соединение концов.

BO - радиус.

BO = AO = 2.

ABO - равнобедренный, с углами в основании по 30.

Значит, необходимый радиус = AB/2. AB/sin120 = BO/sin30

AB = sqrt(3).

S = Pi*AB^2 = 3П .

Вопросы?))

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man Вопросы? ГДЕ МОЙ МОЗГ?!?! =))

[Robot]

Я вышла в Инет на 5 минут - приду часов в 14 по Москве - все проверю

В первой у вас явно что-то не то

Не следует путать осевое сечение конуса (проходящее через высоту) и то, о котором идет речь в задаче. Из осевого сечения конуса: R=6, угол наклона образующей равен 30 следует что образующая равна 4sqrt(3). А затем если две образующие образуют угол 60, то действительно имеем равносторонний треугольник со сторонами 4sqrt(3). Площадь его можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними

0,5*4sqrt(3) *4sqrt(3)*sin60=12*sqrt(3)

Площадь боковой поверхности конуса ПRL =П*6*4sqrt(3)=24Пsqrt(3)

Но я приду - еще раз все проверю

Все, ушла

[Паломник Оптимизма!]

Robot Слушай ну там же написано что под тридцать градусов наклонена боковая. А сечение через 60 градусов. Значит через две противоположные друг друг т.е. осевое сечение равзе нет?

[Rain_man]

Паломник Оптимизма

Сделай чертёж и увидишь, почему это сечение не может быть осевым)

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man говорю ж бумаги нет под рукой! =)



ЗЫ я допер уже =) Я не с той стороны думал 30 градусов =)

[Rain_man]

Паломник Оптимизма

Дело не в том, с той, не стой))

Просто в осевом сечении данного конуса угол между образующими будет 120 градусов))

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man я думал что 30 градусов энто угол между образующей и перпендикуляром от вершины =) Поэтому и решил что осевое.

[Robot]

Задание 1а)

[Robot]

Задание 1б) я уже написала выше

Площадь боковой поверхности конуса ПRL =П*6*4sqrt(3)=24Пsqrt(3)



В задании 2 немного некорректна формулировка. Мне кажется, нельзя говорить под углом в 30 градусов к шару - наверное, все таки под углом 30 градусов к этому диаметру. У Rain_man решение правильное, но, пожалуй можно проще. Сейчас выложу

[Robot]

Пусть АС = 4 - данный диаметр шара (ребята правы - радиус шара тогда равен 2) и через А проведена плоскость П, упомянутая в задаче. в сечении шара этой плоскостью будет круг. Проведем диаметр этого круга, проходящий через А, пусть это будет АВ. Нужно найти радиус этого круга АВ/2.

Рассмотрим сечение шара плоскостью АВС (см рис) Ас=4, угол СВА - прямой так как опирается на диаметр, угл САВ=30 по условию. Тогда из этого прямоугольного треугольника АВ/АС=cos30. АВ=4*(sqrt3)/2=2*sqrt3

Радиус круга тогда r=sqrt3

S=П*r^2=3П

[Паломник Оптимизма!]

Ох чуствую зря, ой зря меня в институте просят решить задачи...

[Robot]

Паломник Оптимизма

Ты просто немного подзабыл школьную геометрию))



Кстати, в задаче про шар и у меня есть слабое место в решении - я не знаю как доказать что если мы проведем сечение именно таким образом, то угол САВ - угол между диаметром и сечением о которых говорится в задаче.

[Rain_man]

Robot

Я об этом думал)) ответ: никак.

В прошлом году я по-моему в школе этого не доказывал)

[Паломник Оптимизма!]

Robot ну так и что? Геометрия то и у нас есть пусть и высшая. =)

Не понял, что тебя смущает? Прочита решение вроде все логично.

[Robot]

Rain_man

Ну вот и я это пропустила место

Паломник Оптимизма

Высшая геометрия, согласись, это нечто иное. А помнится только то, что постоянно прокручивается в голове. Вот увидишь, пройдешь высшую и через месяц все забудешь. (Печально, конечно, но что поделаешь). Другое дело, что 1) на основе этого ты можешь подниматься еще на ступеньку выше, потому что математика как пирамидка, новое знание базируется на старом, в ней нельзя вынуть ни одного звена, если что-то не усвоено - трудно будет понимать дальнейшее, 2)даже если ты что-то подзабыл, ты всегда можешь посидев, почитав, подумав, разобраться в старом или новом.

[Паломник Оптимизма!]

Robot Я и не спорю =) Я большинство здешних задач которые решаю, обычно решаю со справочником =)

Хотя, например, здесь не пользовался.

[Паломник Оптимизма!]

Rain_man Robot Что-то я так и недопер про какое доказательство вы говорите? Пожалейте умстевенно отсталого? =)