[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Смоленская область

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Вторая Смоленская математическая олимпиада

---

[wpoms.]

2017-2018 уч. год (www.roslobr.ru)

7-8 класс

1. Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 20182017?

2. Известно, что числа $a,$ $b,$ $c$ --- целые и их сумма делится на шесть. Докажите, что $a^5+b^3+c$ также делится на шесть.

3. У продавца есть 10 дынь и весы, с помощью которых за одно взвешивание можно определить общую массу любых трёх дынь. Как за шесть взвешиваний узнать суммарную массу всех дынь?

4. Угол при вершине $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ равен $108^\circ.$ Перпендикуляр к биссектрисе $AD$ этого треугольника, проходящий через точку $D,$ пересекает сторону $AC$ в точке $E.$ Докажите, что $DE = BD.$

5. Али-Баба играет с одним из разбойников в такую игру: на столе лежит кучка из 2017 алмазов; за один ход разрешается разделить одну кучку на любые две; проигрывает тот, кто не может сделать ход; победитель забирает себе все алмазы. Как должен играть Али-Баба, чтобы получить 2017 алмазов?

---

[wpoms.]

9 класс

1. Решите уравнение: $\sqrt[3]{2-x} + \sqrt{x-1} = 1.$

2. Найдите сумму: $S = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + \frac{k\cdot(k+1)}{2} + ... + \frac{2017\cdot2018}{2}.$

3. Докажите, что для всех $a_1, a_2, ..., a_n > 0$ справедливо неравенство
$(a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^2.$

4. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ биссектриса угла $A$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $E.$ Известно, что $AD = 2BC,$ $AD = AB$ и $S(\triangle{ABE}) = 8.$ Найдите $S(ABCD).$

5. В стране 2017 городов и из каждого выходит не менее 100 дорог с двусторонним движением. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой город. Докажите, что это можно сделать не более, чем с 56 пересадками.

---

[wpoms.]

10 класс

1. Укажите десятичную запись числа $9 + 99 + 999 + ... + \underbrace{99...9}_{2016\ \text{раз}} + 2017.$

2. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок за 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, а вторых --- 600. Определите скорость трамвая.

3. Пусть $x_1,$ $x_2$ --- корни уравнения $x^2-\beta{x}+\gamma=0.$ Известно, что пара $x_1, x_2$ является решением системы $x^3+y^3=20,$ $x^2\cdot{y} + x\cdot{y^2} = 4.$ Найдите значение выражения $\dfrac{\beta^2}{\gamma}.$

4. Докажите, что существует натуральное число, десятичная запись которого оканчивается на 2018, а само число делится на 2017.

5. Два параллелограмма $ABCD$ и $AEFG$ (вершины указаны по часовой стрелке) имеют общую точку $A.$ Докажите, что их центры (точки пересечения диагоналей) и середины отрезков $BG$ и $DE$ являются вершинами некоторого параллелограмма.

---

[wpoms.]

11 класс

1. Решите уравнение:
$(x^2-2x+1) + (x^2-4x+3) + ... + (x^2-2\cdot2017x+2\cdot2017-1) = 0.$

2. Про многочлен $P(x)$ известно, что $P(1)=1,$ $P(2)=2,$ ..., $P(2018)=2018.$
Найдите остаток от деления многочлена $P(x)$ на произведение
$(x-1)\cdot (x-2)\cdot ...\cdot (x-2018).$

3. Решите в целых числах уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2017}.$

4. Даны две окружности с радиусами 1 и 2017. Их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны.
Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и общей внешней касательной окружностей.

5. Двое играют в следующую игру: на столе лежит 2017 камней. За один ход каждый игрок может взять себе или положить на стол, если они имеются у игрока от 1 до 12 камней. Проигрывает тот игрок, который не может сделать очередной ход.
Кто выигрывает при правильной игре начинающий или его партнер. Ответ обоснуйте.

---

[All_ex]

wpoms., Спасибо, интересно...

2. Известно, что числа $a,$ $b,$ $c$ --- целые и их сумма делится на шесть. Докажите, что $a^5+b^6+c$ также делится на шесть.
Как-то странно выглядит задача...
Взяли `1 + (-1) + 0` - делится на шесть... но `1^5 + (-1)^6 + 0` - на шесть не делится...

[wpoms.]

Как-то странно выглядит задача...

Спасибо. Исправил

[wpoms.]

2018

---