Проблема с решением системы

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть такое задание: Известно, что `-7*x^3+18*x^2-12*x=(a*x+b)^3+(c*x+d)^3`, (`a`, `b`, `c`, `d` – некоторые числа). Найдите `a+b+c+d`.

Моё решение: Раскрыть скобки в выражении справа, после чего приравнять коэффициенты уравнения слева к коэффициентам уравнения справа. Тогда
`-7*x^3+18*x^2-12*x=a^3*x^3+3*a^2*x^2*b+3*a*x*b^2+b^3+c^3*x^3+3*c^2*x^2*d+3*c*x*d^2+d^3`

Тогда, коэффициент при `x^3` будет `a^3+c^3`, при `x^2` - `3*a^2*b+3*c^2*d`, при `x` - `3*a*b^2+3*c*d^2`, возле свободного члена - `b^3+d^3`

Получается система:
`{(a^3+c^3=-7),(3*a^2*b+3*c^2*d=18),(3*a*b^2+3*c*d^2=-12),(b^3+d^3=0):}`
Понятно, что во втором и третьем уравнениях модно сократить на 3, а также из последнего уравнения получить `d=-b`так как `b^3+d^3=(b+d)*(b+bd+d^2)=0`в пространстве `R`.(Комплексные корни в решении данной задачи не нужны)
Возникает вопрос: каким методом можно решить данную систему уравнений? Выражал `b` из второго уравнения, и `a+c`из третьего, потом подставлял в первое, но ничего толкового не получилось.

Заранее спасибо за ответы!

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, ЕГЭ

Comments

[Trotil]

Если x=0, то 0=(a+b)^3+(c+d)^3=(a+b+c+d)((a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2), но второй множитель нулём быть не может....

[Sunline1990]

Trotil, Немного не понял, почему если ` x=0`, то `(a+b)^3+(c+d)^3=0`, ведь у нас выражение `(ax+b)^3+(cx+d)^3`?

[Trotil]

Да, теперь я тоже не понимаю, почему. )))
К сожалению, только -1=(a+b)^3+(c+d)^3...

[All_ex]

Trotil, я не вчитался в твои записи... а потом вижу, что икс пропал в первой скобке...

А вообще, у меня тоже были мысли, что тут надо смотреть на разложение на множители...

[Sunline1990]

Немного запутался. Все равно не понятно, что с этим делать дальше. Получается, выразить `a+b+c+d=-1/((a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2)`и включить в систему?

[All_ex]

`(a*x + b)^3 + (c*x + d)^3 = ((a + c)*x + (b + d)) * ( (a*x + b)^2 - (a*x + b)*(c*x+d) + (c*x+ d)^2) =`

`= ((a + c)*x + (b + d)) * ( (a^2 - a*c +c^2)*x^2 + (2*a*b - a*d - b*c + 2*c*d)*x + (b^2 - b*d + d^2)) = (-m*x + 0) * (7/m *x^2 - 18/m * x + 12/m)`, где ` m > 0`

Понятно, что `(a + c)*1 + (b + d) = (-m*1 + 0) = -m` - искомая величина....

Сравнивая коэффициенты многочленов, получаем, что `b + d = 0` и `b^2 - b*d + d^2 = 12/m` ... откуда `d = - b` и `b^2 = d^2 = 4/m` ...

Дальше смотрим на второй коэффициент из квадратичной скобки... `2*a*b - a*d - b*c + 2*c*d = - 18/m \ \ => \ \ 2*a*b + a*b - b*c - 2*c*b = - 18/m \ \ => \ \ c - a = +- 3/sqrt{m}`

Ну, а система `{(a + c = -m), ( c - a = +- 3/sqrt{m} ):}`всегда имеет решение...

Итого, вроде `(a + c) + (b + d)` может быть любым отрицательным числом...

[Trotil]

All_ex, на каком-нибудь конкретном примере проверял?

[Sunline1990]

Вбил изначальную систему в вольфрам bit.ly/2SFob7m
Выходит, что сумма `a+b+c+d` должна равняться -1
Но как получить этот ответ - загвоздка...

[Trotil]

Там ещё видно, что (a+b)(c+d)=0. Надо подумать, откуда это следует.

[All_ex]

Аааа... я же забыл про равенство `a^2 - a*c + c^2 = 7/m` ... из полученной ранее системы находим `a` и `c` и подставляем сюда... находим `m`...

Вроде получается два решения `m = 1` и `m = root(3)(19)`...

[All_ex]

Sunline1990, Кстати, Ваша система легко решается методом исключения... (про это я и не думал сразу)...

Перепишем первые три уравнения с учётом того, что `d = -b` ...

`{(a^3 + c^3 = -7), ((a^2 - c^3)*b = 6), ((a + c)*b^2 = -4):}`

Делим второе уравнение на третье и получаем, что `a - c = -{3*b}/2`... третье уравнение перепишем как, что `a + c = -4/{b^2}` ... из этих двух уравнений выражаем `a` и `c` через `b`... подставляет всё это в первое уравнение и находим `b`...

[Sunline1990]

Trotil, All_ex, Спасибо всем Вам за помощь. Теперь разобрался.

[All_ex]

welcome...