Два красавца

[wpoms.]

Назовем натуральное число красивым, если сумма всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) нечётна. Найдите наименьшее натуральное число $k$ такое, что среди любых $k$ красивых чисел можно выбрать два различных числа, произведение которых будет квадратом натурального числа.

@темы: Теория чисел

Comments

[kostyaknop]

Разве не 3? Красивые числа - квадраты и удвоенные квадраты. Дальше принцип Дирихле

[All_ex]

kostyaknop, Красивые числа - квадраты и удвоенные квадраты.
извините за нелепый вопрос (просто я не силён в этой тематике)... а это считается общеизвестным фактом?...

[Гость]

Представляется, что как тлько kostyaknop получит сентябрьские талоны, то сможет ответить

[VEk]

Гость, это Вы напрасно.

All_ex, факт не очень известный. Но можно доказать, что квадрат любого числа имеет нечетную сумму делителей. Далее надо показать, что числа вида `2*a^2` также имеют нечетную сумму делителей, а все нечетные числа, не являющиеся полными квадратами и числа, содержащие в своем представлении степень двойки в большей степени, и не являющиеся квадратами, имеют четное число делителей.

[All_ex]

VEk, ну, если факт известный, то вывод kostyaknop про три числа прост...
Но видимо составители и предполагали, что основная часть решения - это доказательство вида красивых чисел...

[VEk]

Скорее всего.

[kostyaknop]

Я слегка фигею, дорогая редакция, а что такое "сентябрьские талоны" и где я могу получить свою долю?

[Гость]

Кто последний, запишите меня на два, а что дают? (с)

Я слегка фигею

На интернет, по месту службы.