Что-то про многочлены

[wpoms.]

Пусть `u` является положительным корнем уравнения `x^2 + x - 4 = 0`. Многочлен `P(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + \ldots + a_0,` где `n` - положительное целое число, имеет неотрицательные целые коэффициенты и `P(u) = 2017`. 1) Докажите, что `a_0 + a_1 + \ldots + a_n \equiv 1 text{mod} 2 `. 2) Найдите максимально возможное значение выражения `a_0+a_1+\ldots+a_n`.

@темы: Теория многочленов

Comments

[All_ex]

Если поделить с остатком, то получаем, что `P(x) = (x^2 + x - 4)*Q(x) + (R_1*x + R_0)`, где коэффициенты целой части и остатка являются целыми (поскольку целыми являются коэффициенты `P(x)`, а у делителя старший коэффициент равен единице) ...
Тогда `P(u) = R_1*u + R_0 = 2017` .... а поскольку `u = {sqrt{17} - 1}/2` - иррациональной число, то `R_1 = 0` и `R_0 = 2017`... (отсюда же следует, что `P(x)` не может быть линейным) ...
Поскольку `a_0 + a_1 + \ldots + a_n = P(1) = -2*Q(1) + 2017`, где `Q(1) in ZZ`, то первый пункт доказан...

Дальше вспоминаем, что `P(x)` - возрастает при `x ge 0`, в силу неотрицательности коэффициентов... а поскольку `1 < u`, то `a_0 + a_1 + \ldots + a_n = P(1) < P(u) = 2017`... наибольшее нечётное число удовлетворяющее этому условию `P(1) = 2015`... что является ответом на второй пункт... пример полинома с таким значением строится просто ... `P(x) = (x^2 + x - 4)*1 + 2017` ...