Исследовать интеграл на сходимость

[zodiyelite]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в моих рассуждениях(может быть вообще все делаю не верно).
Задача - исследовать интеграл на сходимость:
`int_0^oo sin(x+1/x)/x^ndx`
Мои мысли:
Разобьем интеграл на 2:
`int_0^1 sin(x+1/x)/x^ndx` и `int_1^oo sin(x+1/x)/x^ndx`.
В первом сделаем замену переменных `y = 1 / x`, получим:
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^(-n+2)dx`
Значит, нам достаточно понять условия сходимости для интеграла вида
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx`.
Абсолютная сходимость:
`int_1^oo |sin(x+1/x)|/x^adx >= int_1^oo (sin(x+1/x))^2/x^adx = int_1^oo dx/x^a - int_1^oo cos(2(x+1/x))/x^adx`.
При `a <=1` интеграл не сходится абсолютно, т.е. при `n<=1` не сходится второй интеграл, и при `-n+2 <=1 <=> n>=1` не сходится первый. Таким образом весь интеграл не сходится абсолютно.
Сходимость:
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx <= int_1^oo dx/x^a`.Т.е. при `a > 1` - сходится.
`int_1^oo sin(x+1/x)/x^adx >= -int_1^oo dx/x^a`.Т.е. при `a <= 1` - расходится.
Получается, весь интеграл сходится при `n>1` и `-n+2 > 1 <=> n < 1`. Таким образом интеграл не сходится.
Где я допустил ошибку?
Спасибо

@темы: Несобственные интегралы

Comments

[All_ex]

Сходимость: - очень странные неравенства для интегралов, учитывая, что синус не является знакопостоянным...

[All_ex]

С отсутствием абсолютной сходимости соглашусь... а про условную сходимость надо переделать...
Я бы предложил замену `2*z = x + 1/x`... тогда аргумент у синуса станет по привычнее...

[zodiyelite]

All_ex, со сходимостью я рассуждал так:
`sin(x+1/x) <= 1 , 1/x^a > 0 = > sin(x+1/x)/x^a <= 1/x^a`.
Попробую сделать предлагаемую вами замену

[All_ex]

со сходимостью я рассуждал так:
`sin(x+1/x) <= 1 , 1/x^a > 0 = > sin(x+1/x)/x^a <= 1/x^a`.
и в нуле, и на бесконечности аргумент синуса стремится к бесконечности...
то есть в обоих особенностях интеграла синус знакопеременный... и то, что Вы его оцениваете сверху положительным расходящимся интегралом - ничего не даёт... прочитайте её раз про признак сравнения...

[zodiyelite]

All_ex, да, совсем забыл про положительность функции.
Я сделал эту задачу, разбив синус суммы.
Остался такой вопрос
Можем ли мы использовать формулу Тейлора?
Что я имею в виду:
Например исследовать на сходимость интеграл
`int_1^oo sinx*cos(1/x)dx`
`cos(1/x) = 1 + o(1), x->oo`
Тогда интеграл сходится, если сходится `int_1^oo sinxdx` и `int_1^oo sinx*o(1)`.
Первый интеграл расходится, значит и весь расходится.
Прочитал о таком методе в методичке, но нигде больше о таком методе не могу найти информацию.

[All_ex]

Тогда интеграл сходится, если сходится `int_1^oo sinxdx` - это почему такой интеграл вдруг должен сходится?...

Если Вы не хотите делать замену, а хотите расписать синус суммы, то смотрите на признаки условной сходимости интеграла от произведений...
например, в признаке Дирихле нужно не просто стремление к нулю, а ещё монотонность... а от второго множителя требуют не сходимость, а равномерную ограниченность интегралов по конечному интервалу...

[All_ex]

Прочитал о таком методе в методичке.
Кстати, Ваши рассуждения больше похожи на признак Абеля... там одна функция интегрируема, а другая монотонна и ограничена...

[zodiyelite]

All_ex, в том то и дело, что `int_1^oo sinxdx` - расходится, а значит и расходится и `int_1^00 sinx*cos(1/x)dx`.

[All_ex]

zodiyelite, в том то и дело, что `int_1^oo sinxdx` - расходится, а значит и расходится и `int_1^00 sinx*cos(1/x)dx`.
А зачем Вам его сходимость?... расходимость следует сразу, поскольку не выполняется необходимый признак...
Но у Вас же под интегралом ещё степенной множитель есть...