Необходимое условие сходимости интеграла

[MestnyBomzh]

Всю жизнь считал, что стемление подинтегральной функции к нулю является необходимым условием его сходимости. Оказалось не так, интеграл от `sqrt(x)*sin(x^2)` сходится. Почему так происходит? Почему для ряда есть такое условие, а для интеграла нет? Как доказать, что этот интеграл сходится?

@темы: Интегралы

Comments

[All_ex]

сделайте замену `x^2 = z`...

[Alidoro]

Интеграл можно представить геометрически как площадь под графиком. График представляет собой последовательность положительных и отрицательных полуволн. Высота полуволн пропорциональна `sqrt x`, основание полуволн обратно пропорциональна скорости роста величны `x^2`, т. е. величине `2x`. Таким образом площадь полуволн монотонно стремится к нулю. Можно сложить площади полуволн в виде знакочередующегося ряда, который сходится по Лейбницу.

[MestnyBomzh]

Да, вы правы. Посмотрел на графике, довольно наглядно. Спасибо