[MisteryS]

Вычислить `lim_(x to 0) ( root(3)(x* tg^2(x) ) - ln(x + sqrt(x^2 + 1)) )/(x - sin(x))`

Как я понимаю, здесь нужен Тейлор

Вот только до какой степени нужно раскладывать? И как разложить корень кубический с тангенсом ... совсем нет идет (

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[All_ex]

Как я понимаю, здесь нужен Тейлор
Уже проходили эту формулу?...

[All_ex]

И как разложить корень кубический с тангенсом - избавиться от корня, умножая на сопряжённое...

Вот только до какой степени нужно раскладывать? - зачастую, это метод проб и ошибок...
Первые слагаемые сокращаются... значит, минимум до второго ненулевого слагаемого....

[MisteryS]

All_ex, а другого способа решить это задание
...без Тейлора..нет?)
Как бы я не крутила Тейлора, не получается решить((

[All_ex]

Ну, можно избавиться от кубического корня... с сопряжённым там всё просто... знаменатель тоже простой... тангенс - табличная формула...
Основная возня будет с логарифмом...

[MisteryS]

All_ex, уже решила, спасибо))

[All_ex]

MisteryS, уже решила - не успел....

но всё равно допишу... на случай на всякий ...

[All_ex]

Начнём со знаменателя, он самый простой...
`x - sin(x) = x - (x - {x^3}/6 + O(x^5) ) sim {x^3}/6`

Теперь для избавления от кубического корня найдём простейшие эквивалентные функции для слагаемых числителя...
`root(3)(x* tg^2(x) ) sim root(3)(x* x^2 ) = x`

`ln(x + sqrt{x^2 + 1} ) sim x + (sqrt{x^2 + 1} - 1) sim x +{x^2}/2 sim x`

Таким образом, в числителе стоит разность эквивалентных функций... сопряжённый множитель будет суммой, следовательно, в нём можно заменить простейшими эквивалентными функциями соответствующие множители и слагаемые ...
`A - B = {A^3 - B^3}/{A^2 + A*B + B^2} sim {A^3 - B^3}/{3*x^2}`

Итак, предел перепишется в виде
`P = lim_{x to 0} { x* tg^2(x) - (ln(x + sqrt{x^2 + 1}) )^3 }/{ {x^5}/2 }`

То есть в числителе надо выписывать слагаемые до итоговой пятой степени...

Рассмотрим выражения из числителя...
`x* tg^2(x) = x* (x + {x^3}/3 + O(x^5) )^2 = x* (x^2 + {2*x^4}/3 + O(x^6) ) = x^3 + {2*x^5}/3 + O(x^7) `

`( ln(x + sqrt{x^2 + 1}) )^3 = ( ln( 1 + x + {x^2}/2 + O(x^4)) )^3 = ( [x + {x^2}/2 + O(x^4)] - { [x + {x^2}/2 + O(x^4)]^2 }/2 + { [x + {x^2}/2 + O(x^4)]^3 }/3 + O( x^4) )^3 =`

`= ( [x + {x^2}/2 + O(x^4)] - { x^2 + x^3 + O(x^4) }/2 + { x^3 + O(x^4) }/3 + O( x^4) )^3 = ( x - {x^3}/6 + O( x^4) )^3 = x^3 - {x^5}/2 + o(x^6) `

Окончательно получаем, что
`P = lim_{x to 0} { x^3 + {2*x^5}/3 + O(x^7) - (x^3 - {x^5}/2 + O(x^6)) }/{ {x^5}/2 } = lim_{x to 0} { {7*x^5}/6 + O(x^6) }/{ {x^5}/2 } = 7/3`

Ну, как-то так...

Совпал ответ с Вашим?...