Делимость числа

[gelIos1]

Добрый вечер!

Есть задача: доказать, что произведение трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых является кубом натурального числа, делится на `504`.

Идей как-то совсем нет, разве что само условие переписал как: `(b^3-1)*b^3*(b^3+1)`. Ну и `504` это`2*2*2*3*3*7`.
Но вот что делать дальше? Использовать какие-нибудь теоремы о НОД? Или может у кубов есть какие-то особенные свойства делимости?

Помогите, пожалуйста.

@темы: Теория чисел

Comments

[Гость]

Попробуйте разбить задачу на подзадачи. Доказательство делимости на 8 очень простое, остаются 9 и 7 (или 3 и 7, потому что на три произведение трех подряд идущих чисел делится однозначно, но тогда вторая тройка не очевидна). А дальше надо думать. Попробуйте сумму и разность кубов пораскладывать, может выйдет чего.

Написала и подумала, что 7, 8 и 9 тоже составляют тройку подряд идущих чисел может, получится это как-то использовать.

[Гость]

Можно еще в математическую индукцию потыкать. При 1 и 2 однозначно верно, дальше считайте/преобразуйте. Или вспомнить о формулах суммы и разности кубов.

[gelIos1]

Гость, Спасибо за советы! Попробовал повозиться с индукцией. На при `n=k` получается `k^9-k^3` ну и при `n=k+1` соответственно `(k+1)^9-(k+1)^3`. Если раскрывать последнее, получится тихий ужас. Как их состыковать - ума не приложу, буду пытаться дальше вертеть

[gelIos1]

Гость, Вот думаю, может лучше индукцию не ко всему выражению применить, а отдельно доказать, что `b^3-1` делится на 7, `b^3` на восемь, `b^3+1` на девять. Сейчас буду пробовать

[gelIos1]

Упс, в последнем комменте я совсем чушь сказал)

[Гость]

В теории, можно рассмотреть отдельно варианты b-четное и b нечетное, но если это задача из учебника - решение проще. В индукции не раскрывать надо, а найти выражение при n=k и оценить хвост.

[All_ex]

Гость, Доказательство делимости на 8 очень простое
ссылка на малую теорему Ферма?...

Для делимости на 9 можно рассмотреть произведение в виде `b^3*(b^6 - 1) = b^3*(b^2 - 1)*(b^4 + b^2 + 1)` ...
Если `b = 3*k`, то первый множитель делится на 9...
Если `b = 3*k +- 1`, то второй и третий множители множитель делятся на 3...

Про делимость на 7... не приходит ничего в голову, кроме рассмотрения числа `b = 7*k + r`, где `r = 0, 1, ... , 6`... и тупой подстановки всех остатков ...

[gelIos1]

All_ex, Спасибо большое, понял Вас)
Но вообще у нас сейчас курс криптографии начался и мы по идее в данный момент рассматриваем различные свойства и теоремы, связанные с НОД, но вот как это здесь применить - ума не приложу

[gelIos1]

All_ex, По поводу делимости на 7. Это получается надо в лоб подставлять `7k+r` и раскрывать шестую степень?

[altevg]

gelIos1, для 7 по малой т ферма k^6-1 делится на 7, а значит и k^9-k^3

[Гость]

All_ex,

ссылка на малую теорему Ферма?...

Я имела в виду, отдельно рассмотреть четное и нечетное числа.
Четное однозначно делится на 8, так как является еще и кубом.
Если же число нечетное, то оба его соседа четные, причем одно из соседних чисел обязательно делится на 4.
Малая теорема Ферма мысль интересная, может для семерки сгодится?

[gelIos1]

altevg, Ух ты, здорово, спасибо!)

[altevg]

gelIos1, ну если без малой т ферма то да походу придется подставлять, но лишь числа 1,2 и 3, так как 5=-2, 4=-3, 6=-1

[All_ex]

gelIos1, `7k+r` и раскрывать шестую степень? - нет, можно просто подставить остатки...

altevg, для 7 по малой т ферма k^6-1 делится на 7
Хм... и вправду...

[gelIos1]

Гость,

В индукции не раскрывать надо, а найти выражение при n=k и оценить хвост.

Я не совсем уловил, а что значит "оценить хвост"?

[gelIos1]

Всем огромное спасибо!=)

[gelIos1]

Если же число нечетное, то оба его соседа четные, причем одно из соседних чисел обязательно делится на 4.

Гость, ещё вопрос, а как доказать, что одно из них обязательно делится на 4?

[All_ex]

gelIos1, что одно из них обязательно делится на 4? - разве это не очевидно?

`(2*m)` и `(2*m + 2) = 2*(m + 1)` ... либо `m`, либо `(m + 1)` - чётное...

[Гость]

а как доказать, что одно из них обязательно делится на 4?

Из двух последовательных четных чисел одно делится на два, второе на четыре. Более строгое доказательство — представьте изначальную последовательность в виде 2к, 2k+1, 2k+2, где 2k+1 это куб. Тогда в зависимости от четности/нечетности k на 4 будет делиться либо первое, либо третье.

[gelIos1]

All_ex, Гость, точно, чего-то я совсем)

[gelIos1]

All_ex, Наверное, глупый вопрос, но всё же:


Вот у нас формулировка малой теоремы Ферма. Но ведь в ней сказано, что "a - целое число, не делящееся на 7", но ведь в нашем случае "a" (т.е k) изначально может равняться семи. Или это в итоге роли не играет?

[All_ex]

gelIos1, но ведь в нашем случае "a" (т.е k) изначально может равняться семи.
на этот случай у Вас есть множитель `b^3` ...