Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться с задачей.
Объем n-мерного шара единичного радиуса можно найти по формуле V_n = V_(n-1) * I_n, где I_n = integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]
V_n,2e = V_(n-1)*I_n,2e, где I_n,2e = integral (cos^n x) dx, x=[-e..e] - объем "среднего слоя" n-мерного шара. Слой этот расположен симметрично относительно центра шара. Толщина слоя достаточно мала и равняется 2e (два эпсилон).
Требуется найти предел отношения объема такого слоя к объему всего шара при n -> infinity.
Иначе говоря lim ( [integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]] / [integral (cos^n x) dx, x=[-e..e]] ) as n ->infinity
Интуитивно ясно и достаточно очевидно из графика, что предел равен 1, поскольку при увеличении n график все сильнее будет сжиматься к Oy, но показать этот результат аналитически пока не удалось. Манипуляции с reduction formula к успеху не привели.
Спасибо.
Объем n-мерного шара единичного радиуса можно найти по формуле V_n = V_(n-1) * I_n, где I_n = integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]
V_n,2e = V_(n-1)*I_n,2e, где I_n,2e = integral (cos^n x) dx, x=[-e..e] - объем "среднего слоя" n-мерного шара. Слой этот расположен симметрично относительно центра шара. Толщина слоя достаточно мала и равняется 2e (два эпсилон).
Требуется найти предел отношения объема такого слоя к объему всего шара при n -> infinity.
Иначе говоря lim ( [integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]] / [integral (cos^n x) dx, x=[-e..e]] ) as n ->infinity
Интуитивно ясно и достаточно очевидно из графика, что предел равен 1, поскольку при увеличении n график все сильнее будет сжиматься к Oy, но показать этот результат аналитически пока не удалось. Манипуляции с reduction formula к успеху не привели.
Спасибо.
-
-
03.07.2016 в 04:25math.stackexchange.com/questions/125591/integra...
-
-
03.07.2016 в 04:48-
-
03.07.2016 в 18:12lim(lim ((integral (cos^n x) dx, x=-a..a),n - > inf),a -> 0) не равен нулю!
Не противоречит ли это свойству определённого интеграла integral (f(x)dx, x=a..a) == 0 ?
-
-
03.07.2016 в 18:32Это почему?...
Подынтегральная функция положительна и ограничена единицей... тогда сам интеграл будет неотрицательным и мажорироваться величиной отрезка интегрирования... осталось сослаться на лемму о двух милиционерах...
-
-
03.07.2016 в 18:47при n-> infinity:
((integral (cos^n x) dx, x=a..pi/2) = 0 для любого a из (0, pi/2)
пример
и только
((integral (cos^n x) dx, x=0..pi/2) = C ( C != 0)
следовательно, если разбить отрезок 0 .. pi/2 на два ( 0.... epsilon) и ( epsilon, pi/2), а затем эспилон устремить к нулю, получим то, что я написал.
Где я ошибаюсь в рассуждениях?
-
-
03.07.2016 в 19:13-
-
03.07.2016 в 19:16Дублирую: en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product#Proof_usin...
-
-
03.07.2016 в 19:21