Рекуррентное соотношение

[wammy]

Здравствуйте.

Имеется следующее рекуррентное соотношение:
Т(0) = 2;
T(1) = 2;
T(n) = T(n-2) + 2n+7;

Получается следующая последовательность чисел: 2, 2, 13, 15, 28, . . .
Вопрос состоит в следующем:
Найти вид функции f(n), задающей данную последовательность чисел без рекурсии.
Это задание из лабораторки по алгоритмам. Под видом функции f(n) подразумевается что-то типа f(n) = 2*n + 3 или f(n) = n^2-2*n+1. На практике такие задачи решались "угадыванием", а тут что-то прям в упор ничего не вижу. Может опечатка? Заранее прошу прощения, если в сообществе такие задачи не разбираются.

@темы: Математический анализ

Comments

[All_ex]

Поскольку тут связь членов последовательности через один, то формально будет две формулы - для чётных и нечётных элементов... может они могут как-то совместиться в одну... но это будет видно потом...

Итого, рассмотрите `n = 2*k` и получите последовательность `X_k`, определённую формулами `X_0 = 2, \ \ X_k = X_{k - 1} + 4*k + 7` ...

На практике такие задачи решались "угадыванием",
Ну, полученную последовательность можно "угадать"... а можно и "обосновать"...
`X_k = X_{k - 1} + 4*k + 7 = X_{k - 3} + 4*(k - 1) + 7 + 4*k + 7 = X_{k - 5} + 4*(k - 3) + 7 + 4*(k - 1) + 7 + 4*k + 7 = ...`
Становится понятно, что в итоге получается `X_0 + ` сумма арифметической прогрессии ...

Аналогично рассматриваете нечётные номера...

[wammy]

Так...
Для четных n я получил такую функцию: f(k) = 2*k^2 + 9*k + 2;
А для нечетных - такую: f(k) = 2*k^2+7*k-7;

Надеюсь, правильно.

[All_ex]

wammy, Надеюсь, правильно.
Ну, поскольку это квадратичные функции, то достаточно проверить для первых трёх чётных и нечётных номеров...

[wammy]

Понял. Спасибо большое!

[All_ex]

welcome...