Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Покажите, что уравнение `z^4 + 4*(i + 1)*z +1 =0` имеет корень в каждой четверти комплексной плоскости. |  |
четверг, 25 февраля 2016
Комментарии
-
-
26.02.2016 в 13:05замена `z=w/(1+i)=w/sqrt(2)*e^(-i Pi/4)` приводит уравнение к виду `w^4-16w-4=0`. Ясно, что последний полином имеет ровно два вещественных корня (т.к. знаки последовательности к-тов меняется 1 раз, и после замены это остается правдой. Более того, в 0 значение отрицательное, значит корни разных знаков.
По теореме Виета `w_1+w_2+w_3+w_4=0 => w_1+w_2 =-(w_3+w_4)`. Аналогично по теореме Виета `w_1w_2+w_1w_3+w_1w_4+w_2w_3+w_2w_4+w_3w_4=0 <=> w_1w_2 +(w_1+w_2)(w_3+w_4)+w_3w_4=0`. По полученному условию `w_1w_2-(w_3+w_4)^2+w_3w_4=0`. Обозначим `w_3=re^(i \phi)`. Тогда `w_1w_2-(2rcos(\phi))^2+r^2=0`, что значит, что `w_1w_2+r^2(1-4cos^2(\phi))=0`. В силу того, что `w_1w_2<0`, нужно, чтобы `1-4cos^2(\phi)>0`, что дает `\phi \in (Pi/3+Pi k;2 Pi/3+Pi k)`.
Теперь вернемся в плоскость `z`: вещественные корни идут в 2 и 4 четверть при обратном преобразовании `z=w/sqrt(2)*e^(-i Pi/4)`, а комплексные - в 1ю и 4ю, т.к. они лежат внутри угла раствора `<Pi/4` вокруг мнимой оси.
Вроде так..
-
-
26.02.2016 в 16:53-
-
26.02.2016 в 19:00вроде всё нормально...
-
-
26.02.2016 в 19:34z=±sqrt(8±sqrt(68))/(1+i)
и корни лежат в разных четвертях
-
-
26.02.2016 в 22:35У Вас получается, что `w = +- sqrt{8 +- sqrt{68}}`... то есть комплексные корни будут чисто мнимыми... но такие числа не удовлетворяют уравнению `w^4 - 16*w - 4 = 0`...
Или я Вас не так понял...
-
-
26.02.2016 в 22:50