Параболические окружности )))

[wpoms.]

Рассмотрим все параболы вида `y = x^2 + 2*p*x + q` (`p`,`q` действительные числа), которые пересекают оси `0x`и `0y`в трех различных точках. Обозначим `C_{p,q}` окружность, проходящую через точки пересечения параболы `y = x^2 + 2*p*x + q` с осями. Докажите, что все окружности `C_{p,q}` имеют общую точку.

@темы: Линии второго порядка

Comments

[Epygraph]

Общая точка `(0,1)`.

Было интересно узнать координаты упомянутой точки, поэтому не ограничивал средства поиска школьными рамками.
По координатам трех точек `(0,q)`, `(x_1,0)`, `(x_2,0)` с помощью равенства нулю определителя матрицы четвертого порядка с первой строкой `(x^2+y^2,x,y,1)`, а остальные три получаются в результате подстановки координат данных трех точек в первую строку, получил уравнение окружности из условия. После вычитания третьей строки из четвертой можно вынести за знак определителя множитель `x_2-x_1\neq 0`. Если после этого прибавить к третьей строке новую четвертую строку, умноженную на `-x_1`, то получится определитель матрицы с последними строками `(-q,0,0,1)`, `(-p,1,0,0)`. Теперь можно непосредственно убедиться в том, что при `(x,y)= (0,1)` определитель равен нулю.

[All_ex]

Если ограничиваться школьными методами, то можно опираться на свойство, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна `180^o`...

Рассмотрим сперва симметричную параболу `y = x^2 - a^2`... координаты вершин `A(a;0), \ B(0;-a^2), \ C(-a;0),\ D(0; y_0)`... в силу симметрии `/_BAD = /_BCD = 90^o`... тогда `tg /_ABO = tg /_OAD \ => \ a/{a^2} = {y_0}/a \ => \ y_0 = 1`...

Затем рассматриваем несимметричные параболы... имеем точки `A(a;0), \ B(0;a*b), \ C(b;0),\ D(0; 1)` ...
Правда, приходится рассматривать четыре случая:
1) `a*b < 0` ... тут используем формулу тангенс суммы и показываем, что `tg /_DAB = - tg /_DCB` ...
2) `0 < a*b < 1` ... (пусть `0 < b < a`) ... проверяем, что `tg /_DAO = tg /_CBO` ...
3) `a*b > 1` ... (пусть `0 < b < a`) ... проверяем, что `tg /_BAO = tg /_CDO` ...
4) `a*b = 1`, то есть `B=D` ... проверяем, что окружность, описанная около треугольника `ABC` касается оси `Oy`...

До конца не расписывал, но по прикидкам всё получается нормально...

[Sticker_]

Вот ещё один способ:

[All_ex]

Sticker_, красиво...
Можно было даже без векторов, ссылаясь на свойство пересекающихся хорд (когда центр внутри) и свойство секущих (когда центр снаружи)...

[Sticker_]

All_ex, ну, вот, чтобы не рассматривать два случая, я обошёлся одним - с помощью векторов ... )))
Только там используются не свойства пересекающихся хорд и секущих окружности, а признак принадлежности четырёх точек окружности (обратная теорема).

[All_ex]

Sticker_, чтобы не рассматривать два случая, я обошёлся одним - с помощью векторов ... ))) - согласен... но думается мне, что это утверждение менее известно школьникам... хотя может я не с теми школьниками общаюсь...