суббота, 14 ноября 2015
15:02

Пятиугольник

все записи пользователя в сообществе Alemand
Помогите с решением следующей задачи:
В выпуклом пятиугольнике MNKPE углы MNK и KPE равны 30 градусам, а каждая из сторон NK, KP, ME равна 1 и сумма длин сторон MN и PE равна 1. Доказать, что площадь MNPKE равна 1.

@темы: Олимпиадные задачи

URL
Комментарии
14.11.2015 в 16:35

Leska|Nastya
Когда женщина перестает быть юной и прелестной, она становится мудрой и роскошной
NK - сторона или диагональ? судя по названию дб диагональю...
URL
14.11.2015 в 17:12

Alemand
Извините. Исправил условие.
URL
15.11.2015 в 01:37

Гость
Если взять "симметричный" вариант: `MN = 0,5` и `PE = 0,5` ( вроде такое ведь может быть ?.. условию удовлетворяет.. ), то все легко считается.. Только площадь 5-угольника получается `S_{MNKPE} = sqrt{3}/4` :upset:
( или я так "хорошо" считаю, или с условием что-то все-таки не то.. )
URL
15.11.2015 в 09:28

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Гость, ..
URL
15.11.2015 в 09:43

Alemand
это задача из книги Балаяна "800 лучших олимпиадных задач... № 14.
URL
15.11.2015 в 10:26

Alemand
Он пишет, что сумма площадей MNK и KPE равна площади MKE. Я этого не вижу. Тем более, что в этом случае площадь пятиугольника получается равной 1/2.
URL
15.11.2015 в 11:23

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Балаян пишет много чего. Это не тот автор, которому доверяют.
URL
15.11.2015 в 11:35

Leska|Nastya
Когда женщина перестает быть юной и прелестной, она становится мудрой и роскошной
Alemand, я до конца не могу добраться, но площадь треугольника MNK и KPE вычисляется по формуле 1/2 * высоту * основание, высота = 1/2, основание 1. Площадь каждого из этих треугольников 1/4, а площадь большого треугольника 1/2 (подозреваю там основание и высота равны 1), а значит площадь пятиугольника равна 1=1/4+1/4+1/2
URL
15.11.2015 в 14:25

Гость
Leska|Nastya, где-то Вы чуть ошибаетесь.. Это не каждый из треугольников `MNK` и `KPE` имеет площадь `1/4`, это сумма их площадей равна `1/4`
( как-то так: `S_{MBK} + S_{KPE} = 1/2*MN*NK*sin(30^0) + 1/2*PE*PK*sin(30^0) = 1/2*MN*1*1/2 + 1/2*PE*1*1/2 = 1/4*(MN + PE ) = 1/4` )
Сами-то треугольники `MNK` и `KPE` могут быть разными - отрезки `MN` и `PE` не обязательно равные читать дальше

Вообще, как решать я не знаю :) и даже что должно быть все-таки в условии - тоже не поняла )) Ни одного "интересного" факта из данного условия я так и не смогла получить.. я попробовала еще посчитать так, как начинала - просто брать "хоть какие-нибудь" `MN` и `PE` - лишь бы их сумма была = 1.. Считала приблизительно, конечно, но все равно видно, что получаются разные значения площади 5-угольника.. :)
URL
15.11.2015 в 14:42

Leska|Nastya
Когда женщина перестает быть юной и прелестной, она становится мудрой и роскошной
Гость, да понятно, я билась-билась, но в итоге не ответ получила, а так некоторые размышления на тему...
URL
15.11.2015 в 18:12

Alemand
Спасибо всем большое! за работу, за участие. Похоже, действительно, в условии чего -то не хватает.
URL