Является ли полным метрическое пространство

[kanoChan]

Является ли полным метрическое пространство `(X, rho)`, где `X=(0,1)` принадлежит `R`, где `R` - полное метрическое пространство, относительно метрики `rho(x, y) = |x-y|`.

Пространство` (X, rho)` называется полным, если всякая его фундаментальная последовательность сходится.
Пусть `{x_n(t)}` - произвольная фундаментальная последовательность из `X`. Покажем, что она сходится.

Так как `{x_n(t)}` фундаментальная, то по определению фундаментальной последовательности `rho(x_n(t), x_m(t)) -> 0`, при `m,n -> oo` для всех `t` из `(0,1)`.
Значит, `|x_n(t)-x_m(t)| -> 0`, при `m,n -> oo`. Устремим `m` к бесконечности, получим` |x_n(t)-x(t)| -> 0` для любого `t` из `(0,1)`, из чего следует, что
последовательность`{x_n(t)}` сходится к `x(t)`, следовательно метрическое пространство `(X, rho)` является полным.

Проверьте, пожалуйста, ход решения

@темы: Функциональный анализ

Comments

[All_ex]

kanoChan, при наборе формул в режиме скрипта они выделяются обратными апострофами (клавиша "Ё" в английской раскладке)...
Если установите у себя скрипт, то у Вас формулы будут отображаться так...

Про установку скрипта и текстовом наборе формул написано тут ...
Или можно обойтись без установки ... для чего отсюда перетащите на панель закладок ссылку AsciiMathML Bookmarklet... при нажатии на значок включается скрипт...

=====================================

Проверьте, пожалуйста, ход решения
Вы немного неверно восприняли данные в условии задания...

метрическое пространство `(X, rho)`...
`X` - это данное множество элементов, а не область определения функций... ведь значение метрики - это число, а у Вас получается тоже функция...

[kanoChan]

All_ex, да, тогда выходит глупость...
А можно тогда так: Пусть `{x_n}` - произвольная фундаментальная последовательность из `X`. Покажем, что она сходится.
Так как `{x_n}` - фундаментальная последовательность, то в силу полноты пространства `R` она имеет предел. Обозначим его через `x_0`.

Или опять не туда меня унесло?

[All_ex]

Или опять не туда меня унесло? - теперь туда... осталось показать, что всегда `x_0 in X` или привести пример обратного...

[kanoChan]

Предел `x_0` можно записать как `rho(x_n, x_0)` `->` 0 при `n` `->` `infty` <=> `|x_n-x_0|``-> 0` при `n` `->` `infty`
Тогда `x_n = x_0`, а `x_n` `in X` => `x` `in X`

[All_ex]

kanoChan, это Вы уже куда-то не туда...
Весь пример на то, что Вы должны заметить наличие фундаментальных последовательностей, которые сходятся к граничным точкам...

[kanoChan]

All_ex,
идеи закончились...

[All_ex]

идеи закончились... - предыдущая подсказка была не достаточно конкретной?... ... уточню её... у Вас открытое множество `X`...

[kanoChan]

Если `X` открытое множество, то все его точки являются внутренними, а внутренняя точка - это точка, входящая в множество со своей окрестностью.
По определению открытого множества тогда получается, что для любой точки `x_0 in X` существует `epsilon > 0`, такое что `rho(x_n, x_0) < epsilon`, ну или что `rho(x_n, x_0)->0`

[All_ex]

Это Вы всё верно говорите, но немного не о том...

Прочитайте сразу два моих предыдущих комментария и сделайте вывод ...

[kanoChan]

Если фундаментальные последовательности сходятся к граничным точкам, то есть к 0 и 1, то пространство не будет полным, потому что интервал незамкнут. Верно?

[All_ex]

Да... я на это и намекал...

Если фундаментальные последовательности сходятся к граничным точкам - лучше сказать, что "существуют фундаментальные последовательности..." и привести пример ...

[kanoChan]

All_ex, например `1/(n^2+1)`
предел равен 0, фундаментальна, но 0 не входит в `(0,1)`

[All_ex]

ну, можно и попроще `x_n = 1/n` ...

[kanoChan]

да, можно и такую

Спасибо)

[All_ex]

welcome ...