Скалярное произведение

[IWannaBeTheVeryBest]

1) В пространстве многочленов степени <= 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t, t^3 и t - t^3.
Найти углы треугольника и длины его сторон.
Не могу понять, как находить скалярное произведение полиномов? Блин, в учебнике рассказано про Евклидовы пространства, как пространства с векторами. Действия с векторами я понял. Тут даны полиномы. Просто ступор.
2) В линейном вещественном пространстве даны два скалярных произведения `(x, y)_1` и `(x, y)_2`. Доказать, что функция `(x, y) = \lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2`также будет являться скалярным произведением для любых положительных `\lambda` и `\mu`.
Здесь не понятно почему именно для положительных сказано. Да и вообще как доказывать? Ну я могу сказать, что сумма скалярных произведений - это скалярное произведение, так как... Ну и там по аксиомам пройтись типа коммутативности (кстати не ясно как дистрибутивность доказывается, когда даны только 2 элемента) и т.д.
Помогите плз.

@темы: Линейная алгебра

Comments

[iprovokator]

1) я так понимаю, что стандартное скалярное произведение будет таким. Если взять такой базис `(1,x,x^2,...)`. То стандартным скалярным произведением двух многочленов `f=a_0+a_1*x+... ; g=b_0+b_1*x+...` будет `(f,g)= sum_(i=0)^(+oo) a_i*b_i`. Длиной многочлена `f` будет `|f|=sqrt((f,f))` а косинусом угла между двумя многочленами будет `cos(alpha)= (f,g)* 1/(|f|*|g|)`
во втором просто нужно проверить 3 условия
1)линейность по первому аргументу
2)симметричность
3)положительная определенность (тут как раз я так понимаю, что потребуется, чтобы коэффициенты `lambda` и `mu` были положительные.
Но я могу ошибаться, поэтому лучше дождитесь более авторитетного ответа

[All_ex]

со стандартным скалярным произведением - ну, может задано пространство `L_2` ...
Хотя общий метод решения уже описан...


1)линейность по первому аргументу
2)симметричность
3)положительная определенность
В общем, да... Только нумерация свойств - обратная ....

[IWannaBeTheVeryBest]

Окей. Если пойдем по описанному методу, то
`t = 0 + 1*t + 0*t^2 + 0*t^3`
`t^3 = 0 + 0*t + 0*t^2 + 1*t^3`
Скалярное произведение - это сумма попарных произведений коэффициентов. Но у нас тогда скалярное произведение этих двух полиномов будет равным 0, так как нет таких пар, где бы не было нуля при умножении. В итоге длину можно не искать, а угол между этими сторонами будет равен 90 градусов, так как `cos(pi/2) = 0`. Это верно?
Кстати говоря я так делал, только вот ответы в конце учебника очень уж сомнительны. Ну вернее сомнительно такое решение.

[IWannaBeTheVeryBest]

А по второму - тоже как то не очень въезжаю.
У нашей функции аргументы - это же эти 2 слагаемых если не ошибаюсь?

[iprovokator]

IWannaBeTheVeryBest, вы нашли угол между векторами соединяющими начало координат и точки `t,t^3` . А стороны треугольника задаются такими векторами `t^3-t ; t-2t^3 ; -t^3`. Углы между этими векторами нужно искать.

[All_ex]

IWannaBeTheVeryBest, У нашей функции аргументы - это же эти 2 слагаемых если не ошибаюсь?
У скалярного произведения два аргумента - `x` и `y` ... а два слагаемых - это вид Вашей функции...

[IWannaBeTheVeryBest]

iprovokator, Просто меня сбивает с толку то, что написано, что задан треугольник именно со сторонами такими, а не с углами, ну или на крайний случай, с вершинами. Но это скорее всего будет верно. Спасибо))

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex,
Симметричность. `F(x, y) = F(y, x) => \lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2 = \lambda * (y, x)_1 + \mu * (y, x)_2`, что верно в силу аксиом про скалярные произведения. На одном примере `(x, y)_1 = (y, x)_1`. Второе скалярное произведение аналогично.
Линейность... Это же что-то вроде `F(ax + by) = aF(x) + bF(y)`. Пока не знаю как применить. Или здесь имеется ввиду то, что можно константу выносить спокойно? Все равно не доходит. Должно же быть что-то вроде `F(ax,y) = aF(x,y)`. Смею предположить что-то вроде:
`F(ax, y) = \lambda * (ax, y)_1 + \mu * (ax, y)_2 = a(\lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2) = aF(x, y)`
Положительная определенность. Ну надо просто составить, как я понимаю, функцию с тем же аргументом. С двумя одинаковыми всмысле.
`F(x, x) = \lambda * (x, x)_1 + \mu * (x, x)_2`
Если составил верно, то очевидно, что функция будет положительно определена в силу положительности коэффициентов, а также в силу положительности таких "внутренних" скалярных произведений (по аксиоме 4).

[IWannaBeTheVeryBest]

iprovokator, И все же как то странно.
Ну вот по нашей логике "длина" полинома, или, если так можно выразиться, его норма - это `|f| = sqrt(f, f)`
Хорошо. Угол мы понимаем как искать. Ищем...
`cos(\varphi) = (t^3 - t, -t^3) * 1/(|t^3 - t| * |-t^3|) = -1/sqrt(2)`
Отсюда `\varphi = (3pi)/4`
Ответы в конце учебника: `cos(\varphi_1) = sqrt(21)/5`, `cos(\varphi_2) = sqrt(35)/10`, `cos(\varphi_3) = sqrt(35)/(2sqrt(21))`
Что бы это могло быть? Или я что-то не то делаю?

[All_ex]

Смею предположить что-то вроде: - Вы проверили только однородность... и забыли про аддитивность ...
Это же что-то вроде `F(ax + by) = aF(x) + bF(y)` - да, только забыли второй аргумент приписать... `(a*x + b*y; z) = a*(x; z) + b*(y; z)` ...

Положительная определенность - ну, ещё про нуль только на нулевом векторе надо сказать...

=================================
задан треугольник со сторонами - вроде не надо здесь разности рассматривать.... это же не радиус-векторы вершин, а уже стороны... при этом третья сторона есть разность двух первых как и должно быть...

Ответы в конце учебника: - уточните про "стандартность" скалярного произведения....

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Емае. Стандартное скалярное произведение двух полиномов определено как
`int_(-1)^1 p(t)*q(t)dt`
Действительно надо было это уточнить. И в учебнике это было написано. Ахах. Чем бегать по всему интернету и искать можно было пару страниц перевернуть. Решил.
По второй задаче. Про положительную определенность понял.
Про линейность. Я так полагаю надо расписать какой-то аргумент на сумму двух.
`x = a*x_1 + b*x_2`
Применяя к нашей функции
`F(a * x_1 + b * x_2, y) = a * F(x_1,y) + b * F(x_2,y)`
`F(a * x_1 + b * x_2, y) = \lambda * (a * x_1, y)_1 + \lambda * (b * x_2, y)_1 + \mu * (a * x_1, y)_2 + \mu * (b * x_2, y)_2 = `
` = a(\lambda * (x_1, y)_1 + \mu * (x_1, y)_2) + b(\lambda * (x_2, y)_1 + \mu * (x_2, y)_2) = a * F(x_1,y) + b * F(x_2,y)`
Верно?

[All_ex]

Верно? - ну, я бы явную подстановку ещё написал ...
`F(a * x_1 + b * x_2, y) = \lambda * (a * x_1 + b * x_2, y)_1 + \mu * (a * x_1 + b * x_2, y)_2 = ...`

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Ну да, я просто торопился)) А так спасибо за помощь))

[All_ex]

IWannaBeTheVeryBest, А так спасибо за помощь)) - welcome от всех....