Здравствуйте. Готовлюсь к экзаменам по указанному предмету. Разбираю типовые задачи. Есть вопросы по 2 задачам, которые не могу решить.
Задача 1. В треугольнике АВС даны точка C(0,0), уравнения высоты Вh: x+y+8=0, медианы Bm: x-3y=4. Найти уравнения сторон треугольника.
Решение:
Сделал рисунок
С уравнения высоты Вh: x+y+8=0 снимаем нормаль - n(1;1) - эта нормаль является направляющим вектором для стороны AC.
Есть точка C(0,0) и направляющий вектор n(1;1) - составляем уравнение для AC.
x/1=y/1, x-y=0 - уравнение стороны AC.
ДАЛЬШЕ ЧТО ДЕЛАТЬ???))) Я не могу понять, как найти 2 оставшиеся стороны. Как-то нужно использовать медиану, или какие-то свойства, о которых я может быть не знаю. Вообщем тупик)
Задача 2. Определить, лежит ли точка A(3, 2,-1) внутри тупого или острого угла, образованного плоскостями
1 П : 5x - y + z + 3 = 0 и
2 П : 4x - 3y + 2z + 5 = 0
Решение: Здесь рисунок не важен. Я решал такие же задачи, но только с точкой O(0;0;0), решение заключалось в составлении нормального уравнения плоскостей, далее искал знак скалярного произведения нормалей этих плоскостей,
если <0, то угол тупой, точка лежала в остром углу, и наоборот(правильно ли я здесь рассуждал?).
Так вот, здесь дана точка не (0;0;0)((( и я не знаю как это делать. Есть вариант с подстановкой координат этой точки в само уравнение плоскости....но я не уверен.
Объясните пжлст, я искренне разобраться хочу.
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная:
Задание: Плоскость П проходит через точку A(1,0,-1) параллельно векторам a (2,1,0) и b (2,0,-1). Найти точку,
симметричную точке B(2,-1,0) относительно плоскости П.
Задача 1. В треугольнике АВС даны точка C(0,0), уравнения высоты Вh: x+y+8=0, медианы Bm: x-3y=4. Найти уравнения сторон треугольника.
Решение:
Сделал рисунок
С уравнения высоты Вh: x+y+8=0 снимаем нормаль - n(1;1) - эта нормаль является направляющим вектором для стороны AC.
Есть точка C(0,0) и направляющий вектор n(1;1) - составляем уравнение для AC.
x/1=y/1, x-y=0 - уравнение стороны AC.
ДАЛЬШЕ ЧТО ДЕЛАТЬ???))) Я не могу понять, как найти 2 оставшиеся стороны. Как-то нужно использовать медиану, или какие-то свойства, о которых я может быть не знаю. Вообщем тупик)
Задача 2. Определить, лежит ли точка A(3, 2,-1) внутри тупого или острого угла, образованного плоскостями
1 П : 5x - y + z + 3 = 0 и
2 П : 4x - 3y + 2z + 5 = 0
Решение: Здесь рисунок не важен. Я решал такие же задачи, но только с точкой O(0;0;0), решение заключалось в составлении нормального уравнения плоскостей, далее искал знак скалярного произведения нормалей этих плоскостей,
если <0, то угол тупой, точка лежала в остром углу, и наоборот(правильно ли я здесь рассуждал?).
Так вот, здесь дана точка не (0;0;0)((( и я не знаю как это делать. Есть вариант с подстановкой координат этой точки в само уравнение плоскости....но я не уверен.
Объясните пжлст, я искренне разобраться хочу.
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная:
Задание: Плоскость П проходит через точку A(1,0,-1) параллельно векторам a (2,1,0) и b (2,0,-1). Найти точку,
симметричную точке B(2,-1,0) относительно плоскости П.
-
-
10.01.2015 в 20:56Найдите точку `M` ... и, зная точку `C`, найдёте `A` ...
-
-
10.01.2015 в 21:07-
-
11.01.2015 в 07:38а будет ли отличие Вашего ответа при записи уравнения `x - 1 = 0` в виде `-x + 1 = 0`?...
нет конечно
-
-
11.01.2015 в 08:5315-2-1+3>0
12-6-2+5>0 => угол острый, точка лежит в тупом углу. Правильны ли рассуждения и решение? А что если были бы разные знаки?? допустим п1<0, п2>0, чтобы тогда было?
-
-
11.01.2015 в 10:01как уже писал ранее, подставляем координаты точки в уравнения плоскостей: - ранее Вы писали про искал знак скалярного произведения нормалей этих плоскостей, ... но тут снова всё зависит от записи уравнения и выбора нормального вектора...
-
-
11.01.2015 в 10:27Записываем уравнение в таком виде, чтобы при подстановке точки получились одинаковые знаки... в этом случае угол между выбранными нормалям и искомый угол между плоскостями в этом случае будут смежными...
Берём нормали полученных плоскостей и вычисляем скалярное произведение...
И делаем вывод: а) произведение положительно, значит, искомый угол тупой... б) произведение отрицательно, значит, искомый угол острый...
картинка в плоскости, перпендикулярной линии пересечения...
серые стрелки - это прямые углы... красные корявенькие линии - это углы между нормалями...
-
-
11.01.2015 в 12:59Значит я правильно говорил, к примеру плоскость п1 будет вот такой: -5x/корень27 + y/корень27 -z/корень27 -3 =0
Далее скалярное произведение.... но я не понял, при чём здесь точка? т.е. ну нашёл я угол между нормалями и что? точка то где лежать будет?
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная:
Задание: Плоскость П проходит через точку A(1,0,-1) параллельно векторам a (2,1,0) и b (2,0,-1). Найти точку,
симметричную точке B(2,-1,0) относительно плоскости П.
Решение: в мыслях было построение прямой через точку B и нормаль, и построение другой прямой через 2ую нормаль и неизвестную точку.....как то связать эти 2 прямые(но они параллельны) и найти координаты неизвестной точки. Эт всё неверно, здесь ещё же точка А в плоскости дана, через неё может как-то((
-
-
11.01.2015 в 13:09не надо тут нормировать уравнение... просто умножить на минус один при необходимости (после проверки первого условия с подстановкой точки)...
Далее скалярное произведение.... но я не понял, при чём здесь точка? - при выполнении первого условия нормали будут направлены в полупространство, в котором находится точка... смотрите картинку...
Пичально. Ещё одна задача попалась непонятная: - обычно, новая задача - новый топик... чтобы все смогли её увидеть...
Решение: в мыслях было построение прямой через точку B и нормаль, - ещё можно найти уравнение плоскости... и точку пересечения прямой и плоскости... а дальше формула середины отрезка...
-
-
11.01.2015 в 15:11Кажется, начинает работать варилка
Итак, резюмируя(чтоб убедиться правильно ли я понял)
Сначала проверяем как будут направлены нормали.
15-2-1+3>0
12-6-2+5>0
Если знаки одинаковые, то всё в порядке идём дальше.
Ищем скалярное произведение: 25>0 - угол острый, точка лежит в тупом углу - (вот это правильно?)
И точка по вашему рисунку будет находится примерно здесь, ну или в противоположном углу
обычно, новая задача - новый топик извините, в след раз учту(
На счёт 3 задачи. построение прямой через точку B и нормаль
Я не так написал, не через нормаль, а направляющий вектор, нормалей к плоскости там нет(( ток направляющие, т.е. нет прямых, пересекающих плоскость.
Вот, рисунок сделал, как я себе это представляю, были мысли на счёт середины отрезка... но чёт не знаю
-
-
11.01.2015 в 15:35И точка по вашему рисунку будет находится примерно здесь, ну или в противоположном углу - в противоположном углу она уже нарисована для примера
нормалей к плоскости там нет - так найдите... векторное произведение Вам в помощь...
-
-
12.01.2015 в 15:16честн говоря, я вообще не знал что через параллельные вектора можно делать векторное произведение.....это вообще как???
-
-
12.01.2015 в 15:22Почему нельзя сразу же найти неизвестную точку через формулу середины?? я не понимаю
-
-
12.01.2015 в 15:37-
-
12.01.2015 в 22:06Если `a parallel b`, то плоскость однозначно не задаётся... и задача в таком виде не будет иметь особого смысла...