Аналитичность функции. Условие Коши-Римана.

[blackhawkjkee]

Задание:

а) Проверить является ли функция f(z) аналитичной, используя условие Коши-Римана.
`f(z)=ie^(iz-1)`

б) Показать, что заданные функции являются гармоническими. Восстановить аналитическую функцию `f(z)` по ее действительной части `u(x,y)` или мнимой `v(x,y)` и значению `f(z_0)`
`u=x/(x^2+y^2), f(pi)=1/pi, z!=0`

Для начала хотелось бы разобраться с первым заданием.
`f(z)=ie^(iz-1)=ie^(i(x+iy)-1)=ie^(ix+i^2*y-1)=?`
Что делать дальше? Я просто нашел вот эту формулу `e^(i*alpha)=cos(alpha)+isin(alpha)`, где `alpha` - любое действительное число. Как подогнать этот пример под эту формулу или надо по-другому как-то делать?

@темы: Комплексные числа, ТФКП

Comments

[blackhawkjkee]

`f(z)=((x+iy)(x-iy))/((x+iy)(x^2+y^2))+C*i`
`f(z)=(x^2+y^2)/(z*(x^2+y^2))+C*i=1/z+C*i`

Теперь `C*i` мешается. Что делать?

[All_ex]

Теперь `C*i` мешается. Что делать? - Вы же уже спрашивали про начальные данные...

[blackhawkjkee]

Так мы подставляем `1/pi` вместо `z`, причем тут `C*i`?

[All_ex]

Так мы подставляем `1/pi` вместо `z`, причем тут `C*i`? - Ну, так уравнение для него получаете... (у Вас уже были диффуры?) ...

[blackhawkjkee]

Нет, не было

[All_ex]

Нет, не было - то есть такая аналогия не пройдёт...

Подойдём с другой стороны...
В школе решали уравнения с параметром?...
Вот тут задача "При каких значениях параметра `C` функция удовлетворяет условию `f(pi) = 1/{pi}`?" ...

[blackhawkjkee]

`f(z)=1/z+C*i`
`f(pi)=1/pi + 0*i` - так получается?

[All_ex]

`f(pi)=1/pi + 0*i` - так получается? -
В общем да... только обычно это выглядит так...
Подучили функцию `f(z) = 1/z + C*i` ... подставили начальные данные `1/pi = 1/pi + C*i` ... и решаем уравнение относительно `C` ...

[blackhawkjkee]

Так, ну функцию восстановили вроде. Теперь как показать что заданные функции являются гармоническими?

[All_ex]

blackhawkjkee, Теперь как показать что заданные функции являются гармоническими? - Ну, Вы как бы знаете, какие функции называются гармоническими?...

[blackhawkjkee]

Вычитал вот это:
"Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (1) или (2) в некоторой области D, называются гармоническими в этой области."
Ур-е Лапласа:
`DeltaU=U_xx+U_yy=0`

То есть мне нужно взять частные производные второго порядка от u(x,y) и v(x,y) и если они будут равны нулю, то ф-ии гармонические, так?

[All_ex]

То есть мне нужно взять частные производные второго порядка от u(x,y) и v(x,y) и если они будут равны нулю, то ф-ии гармонические, так? - есть другие предложения?...

[blackhawkjkee]

`u=x/(x^2+y^2)`
`v=-y/(x^2+y^2)`

`u'_x=((x^2+y^2)-(x*(2x)))/(x^2+y^2)^2=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2`
`u''_x=((2x(x^2+y^2)^2)-(y^2-x^2)(4x))/(x^2+y^2)^4`

Что-то не очень оно равно нулю по-моему

[All_ex]

Что-то не очень оно равно нулю по-моему - ... Вы вроде про уравнение Лапласа говорили... или мне показалось?...

[blackhawkjkee]

Все равно странно получается:
`DeltaU=U_xx+U_yy=0`

`DeltaU=((2x(x^2+y^2)^2)-(y^2-x^2)(4x))/(x^2+y^2)^4+u''_y`
`u''_y` я посчитал, и там явно не получалась противоположность `u''_x`, так что, наверное, я что-то не так делаю(выписывать второй раз лень, в первый случайно обновил страницу и все стерлось)

[All_ex]

При вычислении второй производной неправильно нашли производную от знаменателя...

[blackhawkjkee]

`(x^2+y^2)^2)'_x=(2x^2+2y^2)'_x=4x` неправильно разве?

[All_ex]

`(x^2+y^2)^2)'_x=(2x^2+2y^2)'_x=4x` неправильно разве? - неправильно... `(U^n)' = n*U^{n-1}*U'` ...

[blackhawkjkee]

`(x^2+y^2)^2)'_x=(2x^2+2y^2)*2x` - так?
Выпишу еще производную по `y`:
`u'_y=(x/(x^2+y^2))=((0-(x*(2y)))/(x^2+y^2)^2`
`u''_y=(2x(x^2+y^2)-(-2xy(2x^2+2y^2)*2y))/(x^2+y^2)^4`

[All_ex]

Теперь похоже на правду...

[blackhawkjkee]

Но нулю то это не равно, так ведь?

[All_ex]

Вы подставили вычисленные производные в уравнение Лапласа?...

[blackhawkjkee]

Не осилил расписать это по скрипту, поэтому скинул картинки. И судя по решению я точно уверен что это все `!=0`

[All_ex]

Во-первых, потеряли минус перед производной числителя... (это было и прежде, просто я просмотрел) ...

Во-вторых, полученную дробь можно упростить, сократив числитель и знаменатель на `(x^2 + y^2)` ...

В-третьих, сама производная не должна равняться нулю... равна нулю сумма производных `U_{x x} + U_{yy}` ...

[blackhawkjkee]

Первые два замечания понятны, а вот это я не могу понять. Даже если неправильные цифры, я же все равно складываю две производные, в чем ошибка?

В-третьих, сама производная не должна равняться нулю... равна нулю сумма производных `U_{x x} + U_{yy}` ...

[All_ex]

Даже если неправильные цифры, я же все равно складываю две производные, в чем ошибка? - я не вижу где Вы складываете производные...
напишите всё подробно на листочке... вычисление производных... сложение ...

[blackhawkjkee]

Мне нужно сложить `u''_x` и `u''_y` и получить `0` - так?
Ниже выписал значения

`u''_x=(-(2x(x^2+y^2)^2)-(y^2-x^2)((2x^2+2y^2)*2x))/(x^2+y^2)^4` - здесь вы сказали что я минус потерял, если что поправьте
`u''_y=(2x(x^2+y^2)-(-2xy(2x^2+2y^2)*2y))/(x^2+y^2)^4`

[All_ex]

Ну, а упрощать кто будет?...

[blackhawkjkee]

Попробую сократить на `(x^2+y^2)` и пересчитать:
`u''_x=(-2x(x^2+y^2)-(y^2-x^2)((2+2)*2x))/(x^2+y^2)^3=(-2x(x^2+y^2)-8xy^2+8x^3)/(x^2+y^2)^3`
`u"_y=(2x(x^2+y^2)-(-2xy(2+2)*2y))/(x^2+y^2)^3=(2x(x^2+y^2)+16xy^2)/(x^2+y^2)^3` - я в последнем посте забыл квадрат дописать в числитель где `(x^2+y^2)`, здесь исправлено уже.

Ну если их сложить, то `(-2x(x^2+y^2)` и `(2x(x^2+y^2)` сократятся, а что делать с `-8xy^2+8x^3+16xy^2`? Судя по всему я опять где-то накосячил )

[All_ex]

Сокращаете `(2*x^2 + 2*y^2)` на `(x^2 + y^2)`... и получаете `(2 + 2)`?... ... Это как?...