[MisteryS]

Разложить в ряд Лорана `1/(z^2-3z)` в кольце 1<|z-1|<2
Вот, как я решила....

Проверьте, пожалуйста

@темы: Комплексные числа

Comments

[Alidoro]

Это вы разложили в ряд Тейлора в точке z=1. А от вас требуется ряд Лорана в указанном кольце.
Первое слагаемое надо разложить в ряд Лорана. Это будет ряд Тейлора в нуле по степеням `1/z` он будет сходиться в области |z|>1, второй ряд по степеням z это будет обычный ряд Тейлора в точке ноль. Сходиться он будет в круге `|z|<2`. Полученные разложения сложить, получится ряд Лорана, сходящийся в нужном вам кольце.

Когда вам задано кольцо, то естественно надо раскладывать в центре кольца, то есть по положительным и отрицательным степеням `(z-z_0)`, где в вашем случае должно быть `z_0=0`. А раскладывать по степеням `(z-1)` неправильно, поскольку область сходимости будет другая, отличная от указанного кольца.

[MisteryS]

Alidoro, Когда вам задано кольцо, то естественно надо раскладывать в центре кольца, то есть по положительным и отрицательным степеням `(z-z_0)`, где в вашем случае должно быть `z_0=0`. А раскладывать по степеням `(z-1)` неправильно, поскольку область сходимости будет другая, отличная от указанного кольца. - ага. это я поняла, спасибо)
второй ряд по степеням z это будет обычный ряд Тейлора в точке ноль. - это тоже понятно
Первое слагаемое надо разложить в ряд Лорана. Это будет ряд Тейлора в нуле по степеням `1/z` - а вот здесь не совсем. Не пойму, как будет выглядеть этот ряд....

[Alidoro]

Запишите вашу функцию `f(x)` в виде `f(x)=g(1/x)=g(y)`, потом разложите `g` в ряд Тейлора в нуле, потом замените в разложении `y` на `1/x`.
Ну это если очень подробно. На самом деле всё делается в уме.

[MisteryS]

Alidoro, ладно....пусть `1/z=t`
Получается, что нужно разложить в ряд Тейлора `t` в нуле.... Но у меня тогда все в ноль обращается. Или я что-то не догоняю....

[MisteryS]

Alidoro, а можно 1/z разложить таким способом?

[Alidoro]

Почему в ноль? Будет просто `t.` Точнее, у вас `-t.` Ряд превращается в конечную сумму, которая сходится везде. После подстановки `z` получаете `-(1/z)` Это ряд Лорана с кольцом сходимости `0<|z|<oo`. После сложения со вторым рядом получаете кольцо сходимости `0<|z|<2`.

Это если формально расписывать. Но неужели не видно, что `-1/z` это уже ряд Лорана?

[MisteryS]

Alidoro, Почему в ноль? Будет просто `t.` Точнее, у вас `-t.` почему `-` перед t....? Извините, что я такой тугодум.....

[Alidoro]

Alidoro, а можно 1/z разложить таким способом?

Можно, но зачем? Вообще в задаче скорее всего ошибка. Первая дробь должна обращаться в бесконечность в точке с `|z|=1.` Тогда разложение в ряд Лорана будет нетривиальным, а кольцо сходимости будет совпадать с указанным в задаче.

Например, функция равна `1/3(-(1/(z+1))+1/(z-3))`

[MisteryS]

Alidoro, Вообще в задаче скорее всего ошибка - еще лучше.....

[Alidoro]

Ну формально вы сделали правильно. Ваш ряд в указанном кольце сходится. Не сказано же, что это кольцо должно быть кольцом сходимости вашего ряда.

[MisteryS]

Alidoro, Например функция равна `1/3(-(1/(z+1))+1/(z-3))` - это вы показываете функцию, в которой не было бы ошибки?

[Alidoro]

Да. И тогда ряд Лорана будет бесконечен в обе стороны.

[Alidoro]

Первое слагаемое такой функции можно разложить в ряд Тейлора в нуле, но такое разложение вас не устроит, поскольку сходимость будет внутри кольца `|z|<1` а вам надо вне этого кольца. Поэтому заменяете z на 1/t и раскладываете по Тейлору в нуле. Ну про это я уже написал.

[MisteryS]

Alidoro, Ну формально вы сделали правильно. Ваш ряд в указанном кольце сходится. Не сказано же, что это кольцо должно быть кольцом сходимости вашего ряда. - все, я окончательно запуталась.
А вот если вот так:

Или вторую дробь не так разложила....

[Alidoro]

Формально это не ряд Лорана - иногда у вас z в какой-то степени, иногда (z-1) в степени. А должно быть одно и то же, единым рядом Лорана. Кроме того, проверьте области сходимости у ваших рядов. Их пересечение не будет накрывать кольцо, указанное в задаче. То есть в некоторых точках кольца первый ряд будет расходиться, например при `z=3/2`.

[MisteryS]

Alidoro, ладно. Тогда придется вернуться все-таки к тому, способу, что вы говорили в самом начале)

Тогда, следуя вашим словам, вторую дробь я разложила правильно?

Теперь нужно разобраться с первой дробью, где до меня так и не доходит, как будет выглядеть ее разложение.
Это будет ряд Тейлора в нуле по степеням `1/z` - еще хотела спросить, а почему нужно раскладывать по степеням `1/z`, почему нельзя просто по z разложить?

[Alidoro]

Вторая дробь правильно.
Ряд Лорана по степеням z может включать в себя `1/z`, `1/z^2` и т. д. То есть, в вашем случае первое слагаемое уже является рядом Лорана. Вот если бы в знаменателе стояло z+1, тогда бы пришлось раскладывать. Я вам объяснял общий алгоритм, которому вас наверно, учили, и который можно применить и для вашего случая.

[MisteryS]

Alidoro, То есть, в вашем случае первое слагаемое уже является рядом Лорана. - тогда...что если так написать...?

[Alidoro]

Правильно.

[MisteryS]

Alidoro, спасибо)
Извините, за наглость)хах. Просто спросить хочу.... На другом сайте я выставила такое решение:

И там сказали, что это решение верно.



Но тогда какое мне выбрать????? Какое решение действительно самое правильное: то, что я здесь решила с вами или на том сайте???

[Alidoro]

Возьмите точку 3/2. Она принадлежит кольцу и значит ряд должен сходиться к функции, но первый ряд вашего решения расходится (общий член не стремится к нулю). То есть, это не решение вашей задачи. У этого ряда другая область сходимости. Но там, где он сходится, он сходится к вашей функции.