Равномерная сходимость

[iprovokator]

1) Подскажите с чего начать `sum_1^(+oo) ln(1+sin(nx)/(n*ln^(alpha)(n))) ; alpha>0 ; E=(-oo;+oo)` Исследовать на равномерную сходимость.

2) `sum_1^(+oo) \ x*e^(-nx)*cos(nx), \ \ E=[0,pi/2]`

@темы: Математический анализ, Ряды

Comments

[All_ex]

Посмотрите утверждение о сходимости бесконечных произведений... по-моему то, что нужно...
Фихтенгольц, 2 том, гл. XI, п. 401. подпункт `6^o`, стр. 355....

[iprovokator]

All_ex, щас гляну

[iprovokator]

All_ex, а можно мне тут в комментах добавлять другие задания, просто готовлюсь к контрольной. и сейчас сижу решаю различные примеры на равномерную сходимость, и не хотелось бы заспамить форум?

[All_ex]

и не хотелось бы заспамить форум? - ...
Одну-две задачи в топике можно... (только условие второй в тело топика надо разместить... ) ... А если много задач, то в одном топике обсуждать их тяжело ...
Посему: новая задача - новый топик ... "я так думаю"(с) ...

[iprovokator]

All_ex, подскажите рассматриваю такой ряд `sum_1^(+oo) x*e^(-nx)*cos(nx)` я показал, что `sum_1^M x*cos(nx) <=x/(|sin(x/2)|) ->2 ; x->0` но оставшаяся часть не стремится к нулю равномерно, я так понимаю, что нету равномерной сходимости, но доказать не получается.

[iprovokator]

Множество на котором, надо проверить `E=[0,pi/2]`

[iprovokator]

All_ex, взял `x=pi/n` у меня получается при подстановке `sum_1^(+oo) pi*(-1)/(n*e)` а такой ряд расходится. Но это всё как-то не строго

[All_ex]

взял `x=pi/n` у меня - как-то странно выглядит выбор икса, зависящий от индекса суммирования...

[iprovokator]

All_ex, по - другому не знаю как

[All_ex]

пробую написать... но медленно получается ...

[All_ex]

Я думаю, тут рассуждения должны быть примерно такие...

При `x in [delta; pi/2]` равномерная сходимость есть ...
Рассмотрим `x in (0; delta)` ... при малых иксах ряд можно разбить на части, содержащие слагаемые одного знака... таких слагаемых примерно `M=[pi/x]` штук ...
Теперь надо получить противоречие с критерием Коши... то есть показать, что выбор `N` зависит от икс...

Тут дальше не до конца строго (надо выверять константы), но по смыслу, видимо, должно быть так ...

Рассматриваем остаток ряда и группируем слагаемые одного знака ... получим знакопеременный ряд, который оценивается снизу разностью первых двух слагаемых ...
`A = |sum_{n = N + 1}^{infty} \ {x*cos(n*x)}/{e^{n*x}} | >= |sum_{n = N + 1}^{N + M} \ {x*cos(n*x)}/{e^{n*x}}| - |sum_{n = N + M + 1}^{N + 2*M} \ {x*cos(n*x)}/{e^{n*x}} | `

Оценим знаменатели в первой сумме по максимуму, а во второй по минимуму...
`A >= |sum_{n = N + 1}^{N + M} \ {x*cos(n*x)}/{e^{(N + M)*x}}| - |sum_{n = N + M + 1}^{N + 2*M} \ {x*cos(n*x)}/{e^{(N + M + 1)*x}} |`

Дальше сворачиваете косинусы... и получает оценку `A >= 1/{e^{N*x}} * [ {alpha}/{e^{pi}} - {beta}/{e^{pi + x}} ] ~~ C/{e^{N*x}}` ...
Получаем, что выбрав `epsilon = C/10` мы для любого `N` можем указать настолько малое `x`, для которого `A > epsilon` ...

ну, как-то так ...

[iprovokator]

All_ex, большое спасибо.

[All_ex]

welcome ...