Найти все особые точки ф-ии и установить их тип.

[blackhawkjkee]

Задание:
`f(z)=1/(z+2)*e^(1/(z+2))`

Плохо разбираюсь во всем этом, но к счастью имею записи решений похожих заданий, и исходя их них пытался решить это задание. В общем, получилось следующее:
`1)` ИОТ: знаменатель = `0`
`z+2=0`
`z=-2`

`2)` Тип ИОТ:
`lim_(z->-2)f(z))=notin` (`notin` - не существет; зачеркнутой буквы E не нашел в справочнике формул)
Ряд Лорана:
`f(z)=1/(z+2)*e^(1/(z+2))=1/(z+2)*(sum_(-2)^(infty) (1/(n!))*(1/(z+2)^n)=...`
(в следующей строке я, возможно, допустил ошибку, потому что тупо переписывал с похожего примера)
`...=1/(z+2)*(-2+1/(z+2)+1/(2!*(z+2)^2)+...+1/(n!*(z+2)^n)`

Собственно, хотелось бы узнать правильно ли я начал делать этот пример.
Также прилагается решенный похожий пример:

Открой меня

`f(z)=(z-1)*e^(1/(z-1)^3)`
`1)` ИОТ: знаменатель = `0`
`z=1`
`2)` Тип ИОТ:
`lim_(z->1)f(z))=notin`
Ряд Лорана:
`f(z)=(z-1)*e^(1/(z-1)^3)=(z-1)*(sum_(1)^(infty) (1/(n!))*(1/(z-3)^3)^n=(z-1)*(1+1/(z-1)^3+1/(2!*(z-1)^6)+...+1/(n!(z-1)^(3n))+...)=(z-1)+1/(z-1)^2+1/(2!(z-1)^5)+...+1/(n!(z-1)^(3n-1))+...` , где z-1 - правильная часть, а все остальное - главная часть. Так как главная часть `->infty => z=1` - существенная особая точка.
Дальше еще у меня записан вычет `Res_(z=1)f(z)=` , но чему он равен не записан. Понятия не имею нужен он здесь или нет.

@темы: Комплексные числа

Comments

[All_ex]

зачеркнутой буквы E не нашел в справочнике формул - `notexist` ...

Собственно, хотелось бы узнать правильно ли я начал делать этот пример. - ну, каких-то ошибочных суждений не видно...

Вот про объяснение несуществования предела у Вас как-то слишком мало слов... точнее их вовсе нет...
Скорее всего это тут лишнее... а тип особой точки устанавливается по главной части ряда Лорана...

[Гость]

Так, решил снова вернуться к этому примеру.

Вот про объяснение несуществования предела у Вас как-то слишком мало слов... точнее их вовсе нет...

А что должно быть? Я просто в похожих примерах не увидел объяснений на счет существования/несуществования.

Ряд Лорана:
`f(z)=1/(z+2)*e^(1/(z+2))=1/(z+2)*(sum_(-2)^(infty) (1/(n!))*(1/(z+2)^n)=1/(z+2)*(-2+1/(z+2)+1/(2!*(z+2)^2)+...+1/(n!*(z+2)^n+...)=-2/(z+2)+1/(z+2)^2+1/(2!(z+2)^3)+...+1/(n!(z+2)^(n+1))+...` , отсюда делаем вывод что `-2/(z+2)` - правильная часть, а все остальное - главная часть. Так как главная часть `-> infty => z=-2` - существенная особая точка.

Проверьте, пожалуйста)

[blackhawkjkee]

Блин, этот дневник никак не хочет меня запоминать) Сверху коммент от меня.

[All_ex]

А что должно быть? Я просто в похожих примерах не увидел объяснений на счет существования/несуществования. - Ну, если Вы выписываете ряд Лорана, то этот предел вообще можно не писать...

А почему при разложении экспоненты под знаком суммы написано `-2`?...
И почему первое слагаемое в скобках `-2`?...

отсюда делаем вывод что -2/(z+2) - правильная часть - тут вообще нет правильной части...

[blackhawkjkee]

А почему при разложении экспоненты под знаком суммы написано `-2`?...

Ну как я понял, там должно стоять значение `z`. В примере с решением выше, `z=1`, и там эта единица и стоит первой, вот я и подумал раз здесь `z=-2`, то -2 будет в начале стоять.
В общем, заменить `-2` на `1` и пересчитать, я правильно понял?

[All_ex]

В общем, заменить `-2` на `1` - и под знаком суммы написать `n = 0` .... и умножить скобку на первую дробь ...

[blackhawkjkee]

Получается:
`...=1/(z+2)*(1+1/(z+2)+1/(2!(z+2)^2)+...+1/(n!(z+2)^n))=1/(z+2)+1/(z+2)^2+1/(2!(z+2)^3)+...+1/(n!(z+2)^(n+1))` , все это будет являться главной частью ряда Лорана. А так как главная часть `->infty`, следовательно `z=-2` - существенно особая точка.

Верно?

[All_ex]

Разложение не заканчивается слагаемым с `n`-ой степенью... там надо дописать `+ ... ` ...

А так как главная часть `->infty` - фраза непонятна... видимо имелось ввиду, что главная часть имеет бесконечное число слагаемых...

[blackhawkjkee]

Разложение не заканчивается слагаемым с `n`-ой степенью... там надо дописать `+ ... ` ...

Забыл дописать)

Спасибо за помощь!

[All_ex]

welcome ...