Матанализ. Пределы.

[wammy]

Доброго вечера.
Есть две задачки:
Первая задача: При каких `alpha` следующий предел при натуральных `m` и `n`
`lim_(x->0)(((1+m*x)^n-(1+n*x)^m))/(x^(alpha))`.

будет конечным и отличным от нуля?

Я рассматривал два случая: 1. n > m. 2. n < m. В обоих случаях, раскрывая скобки по биному Ньютона, я получал, что при альфа равном 2 предел принимал конечное, отличное от нуля значение. При других альфа получал, что предел равен либо нулю, либо бесконечности. Ответ правильный?

Вторая задача: При каких `alpha` следующий предел при действительных `u` и `v`

`lim_(x->0)(((1+a*x)^u)*((1+b*x)^v) - 1)/(x^(alpha))`

будет конечным и отличным от нуля?

Преобразованиями я свел этот предел к пределу `lim_(x->0)(((u*a+v*b)*x)/(x^(alpha)))`, откуда получил, что при альфа равном 1 предел принимает конечное, отличное от нуля значение. Правильный ли ответ?

@темы: Математический анализ

Comments

[All_ex]

№1 что при альфа равном 2 - в общем, да...
Я рассматривал два случая: 1. n > m. 2. n < m. - ну, как бы ещё есть вариант `n = m` ...

№2 - а если `u*a + v*b = 0`?...

[wammy]

Да, есть вариант, когда m = n, но тогда числитель чистый ноль же будет... А знаменатель - бесконечно малая, но не нулевая... Ну, ноль наверное будет тогда. Во второй задачке так же. Ну или я ошибаюсь. =)

[All_ex]

Ну, ноль наверное будет тогда. - в том числе и при `alpha = 2` ...

Во второй задачке так же. - нет... тут в этом случае надо больше слагаемых разложения...

[wammy]

Если m = n, то получается, что ни при каких альфа предел не будет принимать ненулевое значение. А со вторым я чего-то не могу понять. Если все же u⋅a+v⋅b=0, то по идее тоже ни при каких альфа предел не будет принимать ненулевое значение. Мы же никак повлиять на u,a,b,v не можем.

тут в этом случае надо больше слагаемых разложения...

Вот с этим подскажите, пожалуйста.

[All_ex]

Мы же никак повлиять на u,a,b,v не можем. - от Вас не требуют влиять... а требуют рассмотреть варианты...
Типа...
при `m != n \ => \ alpha = 2`... при `m = n \ => \ alpha notexist`

[All_ex]

Вот с этим подскажите, пожалуйста. - Вы это - `(u*a+v*b)*x` - как получили? ...

[wammy]

Вы это - (u⋅a+v⋅b)⋅x - как получили? ...

`(((1+a*x)^u)*((1+b*x)^v ) - 1)/x^(alpha) = (e^(u*ln(1+a*x)+v*ln(1+b*x)) - 1)/x^(alpha) = ((e^(u*ln(1+a*x)+v*ln(1+b*x)) - 1)*(u*ln(1+a*x)+v*ln(1+b*x)))/((x^(alpha))*(u*ln(1+a*x)+v*ln(1+b*x))) =`

`= (u*ln(1+a*x)+v*ln(1+b*x))/x^(alpha) = u*ln(1+a*x)^((1/(a*x))*((a*x)/x^(alpha))) + v*ln(1+b*x)^((1/(b*x))*((b*x)/x^(alpha))) = `

`= ((u*a+v*b)*x)/x^(alpha) ` Вот так, если ничего не напутал...

[wammy]

Если есть способ короче\изящнее\рациональнее или этот неверен, то буду рад, если вы покажите\намекнете.

[All_ex]

Вот так, если ничего не напутал... - ... круто...

Если есть способ короче\изящнее\рациональнее или этот неверен, то буду рад, если вы покажите\намекнете.
Ну, я предполагал, что Вы множители`(1+a*x)^u` и `(1+b*x)^v` просто по Тейлору разложили до второго слагаемого... типа `(1+a*x)^u = 1 + u*a*x + o(x)` ... откуда после перемножения получается Ваш результат ...
Поэтому и говорил про большее число слагаемых...

[wammy]

Не, его высочество Тейлор в следующем семестре изволит явиться... И что ж делать-то тогда? =(

[All_ex]

Ну, если Тейлора не было... тогда по Маклорену ... ... то и правила Лопиталя тоже...

Ну, рассмотрите тогда случай натуральной степени и биномом его ... (случай с одним отрицательным показателем сводится задаче №1 ... а с двумя - к случаю с положительными степенями) ...

В принципе даже можно рассмотреть случай произвольной положительной рациональной степени... затем предельным переходом получим результат для иррациональных степеней... не самый короткий путь, но без Тейлора других путей не вижу ...

[wammy]

А так не хотелось этого делать... )) Спасибо вам большое. И за ту сумму тоже спасибо, если бы не ваша идея, я до сих пор мучился бы.

[All_ex]

welcome ...