Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил задачу.
Дана несовместная СЛАУ Ax = b. Описать все псевдорешения. Найти нормальные псевдорешения.
`A = ((1,2,1,1), (1,2,1,-1), (1,2,1,0), (1,2,3,4))` и `b = ((4),(4),(6),(11))`
Решение
Множество всех псевдорешений можно описать в виде `X = x_k + x_p`, где `x_k` - частное псевдорешение(можно взять нормальное), а `x_p` - общее решение СЛАУ: Ax=0
Находим общее решение СЛАУ: Ax=0
`x_p = ((-2*x_2),(x_2),(0),(0))`
Найдем нормальное псевдорешение
Псевдорешением СЛАУ Ax=b называется такой столбец `x^*`, что длина вектора `A*x^* - b`- минимальна, а она минимальна, если `x^*` ортогонален линейной оболочке столбцов матрицы А, то есть вектор `A*x` является ортогональной проекцией вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А.
Ортогонализируем систему векторов А:
`e_1 = (1,1,1,1)^T`
`e_2 = (0,0,0,0,)^T`
`e_3 = (-1/2,-1/2,-1/2,3/2)^T`
`e_4 = (1,-1,0,0,)^T`
Найдем ортогалальную проекцию `(b^*)` вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А:
`b^* = (b,e_1)/(e_1,e_1)*e_1 + (b,e_2)/(e_2,e_2)*e_2 + (b,e_3)/(e_3,e_3)*e_3 + (b,e_4)/(e_4,e_4)*e_4` - сумма проекций b на базисные вектора
`b^* = (37/12, 37/12, 37/12, 3/2)^T`
Решим систему `A*x^* = b^*`:
получаем, общее решение - `(-2*x_2+31/8, x_2, -19/24, 0)^T`
нормальное псевдорешение `x_k = (31/8, 0, -19/24, 0)^T`
все псевдорешения `X = ((31/8),(0),(-19/24),(0)) + t((-2),(1),(0),(0))`
Дана несовместная СЛАУ Ax = b. Описать все псевдорешения. Найти нормальные псевдорешения.
`A = ((1,2,1,1), (1,2,1,-1), (1,2,1,0), (1,2,3,4))` и `b = ((4),(4),(6),(11))`
Решение
Множество всех псевдорешений можно описать в виде `X = x_k + x_p`, где `x_k` - частное псевдорешение(можно взять нормальное), а `x_p` - общее решение СЛАУ: Ax=0
Находим общее решение СЛАУ: Ax=0
`x_p = ((-2*x_2),(x_2),(0),(0))`
Найдем нормальное псевдорешение
Псевдорешением СЛАУ Ax=b называется такой столбец `x^*`, что длина вектора `A*x^* - b`- минимальна, а она минимальна, если `x^*` ортогонален линейной оболочке столбцов матрицы А, то есть вектор `A*x` является ортогональной проекцией вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А.
Ортогонализируем систему векторов А:
`e_1 = (1,1,1,1)^T`
`e_2 = (0,0,0,0,)^T`
`e_3 = (-1/2,-1/2,-1/2,3/2)^T`
`e_4 = (1,-1,0,0,)^T`
Найдем ортогалальную проекцию `(b^*)` вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А:
`b^* = (b,e_1)/(e_1,e_1)*e_1 + (b,e_2)/(e_2,e_2)*e_2 + (b,e_3)/(e_3,e_3)*e_3 + (b,e_4)/(e_4,e_4)*e_4` - сумма проекций b на базисные вектора
`b^* = (37/12, 37/12, 37/12, 3/2)^T`
Решим систему `A*x^* = b^*`:
получаем, общее решение - `(-2*x_2+31/8, x_2, -19/24, 0)^T`
нормальное псевдорешение `x_k = (31/8, 0, -19/24, 0)^T`
все псевдорешения `X = ((31/8),(0),(-19/24),(0)) + t((-2),(1),(0),(0))`
-
-
27.09.2014 в 19:55Не подскажите откуда у этой задачи ноги растут... Такое ощущение что это некое новое веяние в науке...
Некоторое осмысление Вашего описания решения навело меня на мысль о методе наименьших квадратов...
-
-
27.09.2014 в 20:55-
-
27.09.2014 в 21:02-
-
27.09.2014 в 21:05-
-
27.09.2014 в 21:35-
-
27.09.2014 в 21:40А вот за правильность рассуждений не скажу... полностью изучить материал ещё не успел...