Большие Кругляши

[wpoms.]

В деревне Большие Кругляши десять домов. Все дома расположены по окружности радиуса `R` метров на одинаковом расстоянии от ближайших соседей. Каждый год на Пасху сельский священник идёт с пасхальным визитом по всем домам, как показано на рисунке 1, начиная и заканчивая маршрут в точке `A`. В этом году священник решил пройти по другому маршруту, который показан на рисунке 2. Докажите, что в этом году священник пройдёт на `10*R` метров больше.

@темы: Планиметрия

Comments

[vyv2]

Задача сводится к нахождению `sin(3*pi/10)-sin(pi/10)`.
`sin(pi/5)` см. mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi5.htm...

[Груша Вильямс]

Хотел днём написать решение, но этот `sin 18^@` всё испортил, понял, что задача на вычисление этого синуса. Считал его ещё до этого пару раз точно, но никак запомнить не могу. В итоге весь день на работе считал, сделал через кубическое
`8sin^3 18^@ + 8 sin^2 18^@ - 1 = 0`,
`8x^3 + 4x^2 + 2x + 4x - 2x - 1 = 0`
`2x*(4x^2 + 2x + 1) - (4x+2x+1) = 0`
`(4x^2+2x+1)*(2x-1)=0`
то есть
`(4sin^2 18 + 2sin 18 + 1)*(2sin18 - 1) = 0`
мы тут видим сразу что `b= sin 18 - 1!=0`
тогда `4sin^2 18 + 2sin 18 + 1 = 0`
и решаем как квадратное...
и через произведение синусов по нормальному
Геометрически увы не осилил, а в одно действие можно сказать.