Теория вероятностей

[MorozMary]

Помогите решить!
1.Что вероятнее выиграть у равносильного противника не менее трех партий из 4 или менее 5 партий из 8(ничейный исход исключен)? Каково наивероятнейшее число выигрышей из 8 партий?
2.Из сосуда, содержащего два белых и четыре черных шара, двое поочередно извлекают шар. Найти вероятность вынуть первым белый шар каждому из участников.

@темы: Теория вероятностей

Comments

[Дилетант]

MorozMary, а ваши попытки?
Что не получается?

[stack_overflow]

1. Постройте ряд распределения для случайной величины - число выигрышей. Помните, что любая дискретная случайная величина может быть однозначно охарактеризована значениями, которые она может принимать и их вероятностями.

Значения в данном случае это: 0,1,2,3,4,5,6,7,8.

Вероятность выиграть в каждой из партий одинакова `p = 1/2` (раз противник равносильный) и не зависит от исхода предыдущих партий, следовательно мы имеем дело с распределением Бернулли. Тогда вероятность выиграть `k` раз из `n = 8` можно считать по формуле Бернулли: `p_k = C^k_n * p^k * q^(n-k)`

2.

не смотреть. можно войти в заблуждение

Это задача может быть интерпретирована как задача на условные вероятности. Для первого участника вероятность вынуть белый шар равна `p_1 = 2/6` (2 белых шара из 6 шаров), для второго участника вероятность вынуть белый шар будет уже равна, в силу того, что один белый шар уже достали, `p_2 = 1/5` (1 белый шар из 5 шаров).

Соответственно, общая вероятность искомого события (белый шар достанет первый участник И белый шар достанет второй участник) может быть рассчитана как произведение этих двух вероятностей:
`P = p_1 * p_2 = 1/5 * 2/6 = 1/15`

[Дилетант]

stack_overflow,

для второго участника вероятность вынуть белый шар будет уже равна, в силу того, что один белый шар уже достали,

Как раз всё наоборот. Спрашивается, какова вероятность для второго первым вынуть белый шар. Т.е. подразумевается, что в этом случае первому участнику не повезло ))

[stack_overflow]

Хорошо, неправильно понял постановку задачи

[Дилетант]

stack_overflow, спасибо за чудесное объяснение!

[stack_overflow]

Хотел исправить комментарий, но прошло более 20 минут с его создания. Просьба удалить его, чтобы не вводить в заблуждение спрашивающего - я отправлю сейчас новый.

[stack_overflow]

Дилетант, спасибо! Главное, чтобы сейчас всё было правильно

[Дилетант]

stack_overflow,

(первый участник не достанет белый шар И второй участник достанет белый шар)

Эти события несовместны)
Только один из них может достать белый шар ПЕРВЫМ. Одновременно эти события произойти не могут.
Но я думаю, этого заключительного этапа и не требуется. Достаточно посчитать для каждого.

[All_ex]

stack_overflow, а дальнейшее вытаскивание... ведь не сказано, что "достали ровно по одному шару"... Или я не прав?...

[stack_overflow]

All_ex, кстати да, вы правы... задача усложняется

[stack_overflow]

1. Постройте ряд распределения для случайной величины - число выигрышей. Помните, что любая дискретная случайная величина может быть однозначно охарактеризована значениями, которые она может принимать и их вероятностями.

Значения в данном случае это: 0,1,2,3,4,5,6,7,8.

Вероятность выиграть в каждой из партий одинакова `p = 1/2` (раз противник равносильный) и не зависит от исхода предыдущих партий, следовательно мы имеем дело с распределением Бернулли. Тогда вероятность выиграть `k` раз из `n = 8` можно считать по формуле Бернулли: `p_k = C^k_n * p^k * q^(n-k)`

После построения ряда распределений вы можете найти легко искомые вероятности и математическое ожидание, которое играет роль среднего по вероятностям значения, то есть в данном случае наивероятнейшего числа выигрышей.

2. При решении данной задачи нужно рассмотреть несколько случаев:

1) Первый участник сразу достаёт первым шар (здесь вероятность считается по её классическому определению):
`P_1 = 2/6` (2 белых шара из 6 шаров).

2) Второй участник достаёт первым шар, после того, как первый участник достал чёрный шар (здесь и далее используются условные вероятности):
`P_2 = 4/6 * 2/5 = 4/15`

3) Первый участник достаёт первым шар, после того, как он достал чёрный шар и второй участник достал чёрный шар:
`P_3 = 4/6 * 3/5 * 2/4 = 1/5`

4) Второй участник достаёт первым шар, после того, как он достал чёрный шар и первый участник дважды достал чёрный шар:
`P_4 = 4/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 = 2/15`

5) Первый участник достаёт первым шар, после того, как он достал дважды чёрный шар и второй участник достал дважды чёрный шар:
`P_5 = 4/6 * 3/5 * 2/4 * 1/3 * 2/2 = 1/15`

Здесь следует обратить внимание на то, что поскольку чёрных шаров не осталось, то в этом случае участник гарантированно достаёт белый шар.

Тогда вероятность того, что первый участник достанет первым белый шар равна:
`P = P_1 + P_3 + P_5 = 3/5`

А вероятность того, что второй участник достанет первым белый шар равна:
`P = P_2 + P_4 = 4/15 + 2/15 = 2/5`

[All_ex]

stack_overflow, задача усложняется - я бы сказал - продолжается...

[stack_overflow]

All_ex, в принципе, да. Правда сейчас, кажись, уже наступил финал.

[All_ex]

stack_overflow, Правда сейчас, кажись, уже наступил финал. - да...

[MorozMary]

спасибо за такое полное объяснение!