Проконсультируйте меня пожалуйста
Допустим у нас есть некое неоднородное уравнение, для определенности: `U_t=(a^2)U_(xx)+f(x,t)`
Решения такого уравнения предлагается искать в виде суммы таких рядов: `U(x,t)=f(x,t)+v(x,t)`, где `f(x,t)` - искажение вносимое неоднородностью (источник тепла внутри исследуемого объекта) `v(x,t)` - решение однородной задачи
далее предполагается сделать следующие:
`f(x,t)+v(x,t)=f(t)X(x)+v(t)X(x)`
где X(x) - собственные функции.
Вот этот момент я принципиально не понимаю: почему собственные функции однородной и неоднородной задачи равны? с чем это связанно с точки зрения физики?
зарание спасибо.
Допустим у нас есть некое неоднородное уравнение, для определенности: `U_t=(a^2)U_(xx)+f(x,t)`
Решения такого уравнения предлагается искать в виде суммы таких рядов: `U(x,t)=f(x,t)+v(x,t)`, где `f(x,t)` - искажение вносимое неоднородностью (источник тепла внутри исследуемого объекта) `v(x,t)` - решение однородной задачи
далее предполагается сделать следующие:
`f(x,t)+v(x,t)=f(t)X(x)+v(t)X(x)`
где X(x) - собственные функции.
Вот этот момент я принципиально не понимаю: почему собственные функции однородной и неоднородной задачи равны? с чем это связанно с точки зрения физики?
зарание спасибо.
-
-
17.10.2013 в 17:39Вот этот момент я принципиально не понимаю: почему собственные функции однородной и неоднородной задачи равны? - потому что понятие собственной функции только для однородного уравнения и определяется... По определению собственная функция оператора это решение уравнения `lambda*U = AU`...
А вообще Вы не договариваете постановку... это я к тому, что ответ на вопрос с чем это связанно с точки зрения физики? зависит от рассматриваемого уравнения...
Предположим, что Вы рассматриваете уравнение теплопроводности `U_t = a^2 * U_{x x} + f(x,t)` с начальными данными `U(x,0) = U_0(x)` и краевыми условиями `U(0,t) = alpha, \ U(1,t) = beta`... что физически означает изменение температуры стержня с внутренним источником, начальным распределением температуры и постоянной температурой на концах...
Для решения такой задачи сначала делают замену `U = V + alpha*(1 - x) + beta*x` и получают задачу `{(V_t = a^2 * V_{x x} + f(x;t)), (V(x;0) = V_0(x)), (V(0;t) = V(1;t) = 0):}`... физически это можно трактовать как изменение масштаба измерения температуры вдоль стержня...
Дальше решение ищется в виде суммы `V = v + w`, которые являются решениями задач `{(v_t = a^2 * v_{x x}), (v(x;0) = V_0(x)), (v(0;t) = v(1;t) = 0):}` и `{(w_t = a^2 * w_{x x} + f(x;t)), (w(x;0) = 0), (w(0;t) = V(1;t) = 0):}`...
Физически первая задача отвечает за остывание стержня после начального нагрева... а вторая - за распространение тепла от источника...
Если говорить о других задачах (например, колебания струны), то подход к решению тот же, только трактовка происходит уже в других физических терминах...