Помогите решить пределы, пожалуйста,без правила Лопиталя.

[Polinariaaa]

Lim [n* (a^(1/n)-1)]= ? при n стремящемся к бесконечности.

Я думала насчет замены 1/n = t, но дальше не идет.

Становится похоже на следствие второго замечательного (Lim (e^x - 1)/x ), но я не знаю, как решить и его без правила Лопиталя.
Помогите, пожалуйста.

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[VEk]

Это действительно предел вида `lim_(x -> 0) (a^x-1)/x`. Раз вам его задали, ото наверное что-то на эту тему рассказывали на лекциях. Если лекций нет, то можно посмотреть в курсах по мат. анализу.

[Alidoro]

Второй замечательный `lim_{x ->0} (1+x)^(1/x)=e` логарифмируем, получаем следствие
`lim_{x ->0} ln(1+x)/x=1`, а затем вместо x подставляем `a^t-1` получаем

`lim_{t ->0} (t ln a)/(a^t-1)=1` и берем обратную величину от обеих частей равенства.

[Polinariaaa]

VEk, спасибо, конечно, но такого у нас в лекциях пока нет. На семинарах мы очень далеко ушли.

Alidoro, можете пояснить, что значит "берем обратную величину"? В смысле:

ln a * Lim_{t->0} (t/a^t -1) = 1

Lim_{t->0} (t/a^t -1) = 1/ ln a

И применяем теорему, что если lim f(x) = A, то lim 1/f(x) = 1/A ?

Верно я вас поняла?

[Alidoro]

Polinariaaa, да, верно.

[Polinariaaa]

Alidoro, спасибо огромное!