Последовательность окружностей

[wpoms.]

Пусть` gamma_1` — окружность радиуса `r` и `P` — точка вне окружности, находящаяся на расстоянии `a` от ее центра. Из точки `P` проведены две касательные к окружности `gamma_1`. `gamma_2` — окружность радиуса меньшего, чем `gamma_1`, касающаяся обеих прямых и `gamma_1`. Далее, как только построена окружность `gamma_n`, строится следующая окружность `gamma_{n+1}`, радиуса, меньшего, чем `gamma_n`, касающаяся двух указанных прямых и окружности `gamma_n`. Определите: a) Радиус `gamma_2` . b) Формулу для радиуса произвольной окружности `gamma_n`. c) Предел суммы длин окружностей `gamma_1, gamma_2, ... , gamma_n, ...`

@темы: Пределы, Планиметрия

Comments

[Adjirranirr]

Пусть `r_n` — радиус окружности `\gamma_n`. Тогда, из соображений подобия,
`\frac {a} {r} = \frac {a - \sum_{i = 1}^{n - 1} (r_i + r_{i + 1}) } {r_n} =\frac {a - r_1 - r_n - 2\sum_{i = 2}^{n - 1} r_i} {r_n}`, откуда
`r_n = r \frac {a - (r + 2\sum_{i = 2}^{n - 1} r_i)} {a + r} = r \frac {a - r} {a + r} - 2 \frac {r} {a + r} \sum_{i = 2}^{n - 1} r_i `. Тогда `r_n - r_{n - 1} = -2 \frac {r} {a + r} (\sum_{i = 2}^{n - 1} r_i - \sum_{i = 2}^{n - 2} r_i) = -2 \frac {r} {a + r} * r_{n - 1}`, и `r_n = \frac {a - r} {a + r}* r_{n-1}`, откуда, учитывая `r_1 = r`, получим `r_n = r *(\frac {a - r} {a + r})^{n - 1}`.

Тогда `r_2 = r \frac {a - r} {a + r}`, и `\sum_{n = 1}^{oo} \pi * r_n^2 = \pi * r^2 * \sum_{n = 0}^{oo} (\frac {a - r} {a + r})^{2 n} = \pi * r^2 * \frac {(a + r)^2} {4 a r} = \pi/4 * \frac {r} {a} * (a + r)^2`

[All_ex]

Adjirranirr, дык, вроде c) Предел суммы длин окружностей требуется найти...
Если я не ошибаюсь, то сумма диаметров всех окружностей равна сумме радиуса `gamma_1` и расстояния от её центра до точки `P`... то есть `sum 2*r_n = a + r`, откуда `sum L_n = pi*(a + r)`... вроде так...

[Adjirranirr]

All_ex, действительно =) Ну, тот же самый результат можно получить, найдя сумму `2 * pi * \sum_{i = 1}^{oo} r * (\frac {a - r} {a + r})^{i - 1}\ = \pi (a + r)`.