идея решения.

[соль_по_вкусу]

нужна помощь в решении. идея, вектор, в котором надо танцевать - что угодно, ибо надо сдавать.

`x'=ax^1/3+f(x)`
`a AA RR`
`f in C^infty`

@темы: Дифференциальные уравнения, Олимпиадные задачи, Задачи с параметром

Comments

[соль_по_вкусу]

решение уравнения единственно, разумеется!

[All_ex]

Ну, диффур сам по себе всегда имеет бесконечно много решений... а о единственности говорят в связи с рассмотрением задачи Коши...
Ну вот возьмите теоремы о единственности и проверьте условия....

[соль_по_вкусу]

All_ex, пробовала с задачей Коши, не могу сообразить никак. пробовала подбирать функцию, тоже ничего хорошего не вышло.

[All_ex]

Как я понимаю, Вам не нужно подбирать функцию... Вам надо выписать условия из теоремы единственности для правой части Вашего уравнения и сделать вывод...

[соль_по_вкусу]

All_ex, мой преподаватель сказал, мол, чёрт с ней, с задачей Коши, попробуй подбери функцию.
Сейчас я пробую с задачей Коши поработать, ничего толком не получается.

[соль_по_вкусу]

All_ex, у нас же нет начального условия.

[All_ex]

мол, чёрт с ней, с задачей Коши, попробуй подбери функцию. -ну, например, `a = 0, \ \ f(x) = x`... или я чего-то не понимаю в том, что от Вас требуется... ...

[All_ex]

Просто так, по-моему, намного удобнее. - перечитайте пункт 10 правил сообщества....

у нас же нет начального условия. - В общем странное у Вас задание.... Я бы уточнил у преподавателя, что понимается под "все решения единственны"...

Ну, как вариант ...
У Вас диффур с разделяющимися переменными...
Поделим на правую часть и получаем, что `{x'}/{a*x^{1/3} + f(x)} = 1` или `a*x^{1/3} + f(x) = 0`
Если проинтегрировать дифференциальное равенство, то получим, `F(x) = t + C`... из алгебраической части получаем `x(t) = const`...

Если говорится о существовании решения, определённого для всех `t`, то...
Понятно, что равенство `F(x) = t + C` определяет бесконечно много решений, но они могут быть не определены не для любого `t`... таким образом, эти решения не рассматриваются...
Постоянное решение определено `AA t`, следовательно, оно и должно быть единственным...

Но всё равно уточните условие...

[соль_по_вкусу]

All_ex, задание уточнялось. ошибок нет.

[All_ex]

задание уточнялось. ошибок нет. - Тогда объясните мне смысл фразы "все решения единственны"...

[соль_по_вкусу]

All_ex, в первом комментарии я написала, что там опечатка. Решение уравнения единственно.

[All_ex]

Решение уравнения единственно. - Какое решение?... Если частное, то должны быть начальные данные... если общее, то вообще непонятно о чём это...

[соль_по_вкусу]

All_ex, общее. Вот и мне непонятно, как делать.

[All_ex]

Объясните мне, что значит общее решение единственно?...

[соль_по_вкусу]

All_ex, а я не знаю. может, нужно найти `f(x)`, a и доказать, что решение данного уравнения единственно?
Но начального условия нет... Я не знаю, что с этим делать. Завтра ещё раз подойду к преподавателю, но думаю, что это не увенчается успехом.

[All_ex]

Завтра ещё раз подойду к преподавателю, но думаю, что это не увенчается успехом. - Если задавать правильные вопросы, то ответ будет не просто "решайте дальше"...
Расскажите завтра чем дело кончилось?...

[соль_по_вкусу]

All_ex, разумеется.

[соль_по_вкусу]

All_ex, единственность в том смысле, что через одну точку проходит одна и только одна интегральная кривая.

[All_ex]

Ну, это и есть единственность решения задачи Коши при любых начальных данных...

[соль_по_вкусу]

All_ex, не так все просто, мне кажется. Многое зависит от `f(x)`. Будем решать. Кроме задачи Коши идей нет?

[All_ex]

не так все просто, мне кажется. - важным является условие при любых начальных данных... То есть берёте произвольную точку плоскости и показываете единственность решения...

[All_ex]

Есть подозрение, что условия `a*x^{1/3} + f(x) != 0` должно хватить...

[All_ex]

Хотя это условие, конечно, не является максимально широким (то есть оно будет только достаточным)...
А необходимое и достаточное условие в общем виде не приходит в голову...

[соль_по_вкусу]

All_ex, вот именно, что не приходит. Ладно, будем думать. Спасибо!

[All_ex]

попробуй подбери функцию. - для такого ответа вышеозначенного условия вполне хватит...

[соль_по_вкусу]

All_ex, а Вы не знаете, как можно доказать единственность решения, не используя условие Липшица? Есть ли смысл перейти на условие Гёльдера и что оно мне даст?
Я рассматриваю случай, когда `f(0)!=0`. Пусть `g(x)=ax^(1/3) + f(x)`. `x^(1/3)` не Липшицева.

[All_ex]

Как известно, для существования решения достаточно непрерывности правой части... но при этом решение может быть не единственно...
Наиболее общем условием в теоремах единственности является условие Осгуда... не трудно видеть, что при выполнении условия Гёльдера с показателем меньше 1 условие Осгуда не выполняется...

[соль_по_вкусу]

All_ex, и что же делать?

[All_ex]

Посмотрите учебник Петровского "Лекции по теории ОДУ" п.4, стр 21-22...
Видимо с задачей Коши возиться не надо... а искать условие отсутствия особых решений...

[соль_по_вкусу]

All_ex, я не совсем представляю, как это можно сделать, Петровский прочитан вдоль и поперек(по ОДУ). Я решила и доказала единственность и не единственность решения в случае `a equiv 0` и `f(x) equiv 0`.
Осталось разобраться со случаем `f(0)=0` и `f(0)!=0`. С `f(0)=0` думала применить разложение в ряд или с помощью операционного исчисления, но уравнение автономно и я опять же не знаю, что делать.