Погорелов, равенство треугольников

[remonortsa2]

Вот определения равенства треугольников из учебника Погорелова.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

Никак не могу понять, что вкладывается в понятие соответствующие стороны и соответстующие углы. Есть какое-то определение этому или это просто интуитивные понятия? Соответстующие углы - те, которые лежат против большей стороны?

А почему употреблено слово соответствующие? А если просто так:
Треугольники называются равными, если у них стороны и углы равны.

Или в этом определении мы неявно используем, что против равных углов будут лежать равные стороны (которое, наверное, доказывается где-то там дальше в курсе)

Вот два треугольника.

Понятно, что угол BAC = углу `B_1A_1C_1` (верхние два треугольника), значит они соответствующие. А можем мы указать соответствущие углы не указывая соответствующие стороны?

А соответствующие стороны - те, которые равны?..

В общем, путаница какая-то.

@темы: Планиметрия

Comments

[Ak-sakal]

Никак не могу понять, что вкладывается в понятие соответствующие стороны и соответствующие углы

Да, у Погорелова толком не написано, что означает соответствие. Но всё-таки указано, что должны быть образованы пары сторон и углов. Т.е. взяты шесть элементов одного треугольника, а против них "выложены" шесть элементов другого.
Если же сказать, что

Треугольники называются равными, если у них стороны и углы равны,

то как Вы собираетесь это проверять. Сразу сравнивать все три стороны не получится. Значит придется взять одну сторону одного треугольника и подобрать в другом треугольнике сторону, ей равную. Вот этот подбор и будет установлением соответствия. Т.е. для сравнения надо сначала определиться, какой элемент к каким будем сравнивать.

А вообще многое зависит от определений. Так, говорят, что два треугольника равны, если один из них можно "наложить" на другой. С наглядной точки зрения всё очевидно. Но это в каком-то смысле выход в пространство, который можно описать в терминах соответствия (отображения плоскости на себя, движения, скольжения плоскости по себе самой). Сначала указать вершину одного треугольника, совмещаемую с (соответствующей) вершиной другого. Потом "совместить" вторую пару вершин, потом третью.

А соответствующие стороны - те, которые равны?..

Итак, Вы установили некоторое соответствие, т.е. "выложили" элементы треугольников попарно. Это соответствие может быть "удачным" или "неудачным" в том смысле, что соответствующие элементы оказались равными или нет. Если ДА, то треугольники равны. Если НЕТ, то ничего сказать нельзя. Может быть Вы просто не так, как надо, организовали пары. Главное, надо помнить, что сначала устанавливается соответствие (образуются пары соответствующих друг другу элементов), а уже потом элементы в парах сравниваются.
ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ СООТВЕТСТВИЕ, ПРИ КОТОРОМ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО (т.е. каждая сторона одного треугольника равна выбранной ей в пару стороне другого треугольника), А ТРИ УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ТРЕМ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ.

[Ak-sakal]

Чтобы доказать, что треугольники не равны, требуется доказать, что как бы мы не устанавливали соответствие между их элементами, попарное равенство элементов достичь не удастся. (Например, взять сторону одного треугольника и, сравнив её со всеми сторонами другого треугольника, убедиться в том, что равенство не выполняется в каждой из рассмотренных пар сторон).

[к.черный]

Ak-sakal, как вы хорошо объясняете!

[Alidoro]

Ak-sakal, как вы хорошо объясняете!

Согласен. Теперь посмотрим, остались ли у remonortsa2 поводы задать дальнейшие вопросы. Понятна ли ему ситуация, когда треугольник ABC равен треугольнику ACB.

[remonortsa2]

Ak-sakal, как вы хорошо объясняете!

Полностью согласен. Объяснение исчерпывающее.

Теперь посмотрим, остались ли у remonortsa2 поводы задать дальнейшие вопросы. Понятна ли ему ситуация, когда треугольник ABC равен треугольнику ACB.

Не, ну это я понимаю у Погорелова. Это значит, что угол А = углу А в другом треугольнике, угол B= углу C, угол C = углу B. As far as I can tell.

Но мне это проще воспринимать через стороны. Т.е. треугольник ABC равен треугольнику ACB значит AB=AC, BC=CB, CA=BA.

[remonortsa2]

Ну, и, резюмируя, больше для себя и на свежую голову с утра.

Соответствующие стороны - стороны, находящиеся в соответствии. Эти соответствия (между двумя элементами) типа СТОРОНА-СТОРОНА и УГОЛ-УГОЛ мы неявно создаем, когда определяем равенство треугольников.

[Гость]

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

Определение страдает некоторой избыточностью

[remonortsa2]

Гость,

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Определение страдает некоторой избыточностью

А по-моему логично. Это определение дается в начале курса. До всяких теорем. Без второго предложения (соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон) пришлось бы доказывать (теорему), что против равных сторон лежат равные углы. А здесь автор учебника обошелся без введения новой теоремы.

[Гость]

Это, конечно, дело вкуса, но почему бы не использовать такое определение:

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого есть две равные стороны, противолежащие этим сторонам углы равны и у которого высота, биссектриса и медиана, проведенные к третьей стороне, совпадают.

[remonortsa2]

Гость,

Это, конечно, дело вкуса, но почему бы не использовать такое определение:

:-)

[Гость]

Ниже приведены два фрагмента из учебников 1 и 7 кл.





Принадлежат концы отрезка отрезку или нет?

[Alidoro]

Все-таки определение дурное. Я бы в учебнике добавил некоторые пояснения о термине соответственный. Типа, если у двух треугольников вершины перечислены в определенном порядке (как это неявно происходит при записи треугольника в виде последовательности вершин), то вершины стоящие на одном и том же месте (первом, втором, третьем) называются соответственными. Стороны, соединяющие соответственные вершины (взятые в любом порядке) называются соответственными, углы, лежащие против соответственных сторон, называются соответственными. Таким образом, определение равенства треугольников касается не равенства треугольников как геометрических фигур, а треугольников с некоторым порядком прохождения вершин. То есть, вообще говоря, треугольники ABC и BCA не равны, что Погорелов дальше и демонстрирует при рассмотрении равнобедренных треугольников. Тем самым автор устраняет понятие движения из системы аксиом. Для математика это проще и понятнее. Для школьника не очень понятно. Если школьник не собирается в дальнейшем изучать теорию множеств, соответствия, отношения, то ему, скорее всего, лучше использовать другой учебник.

[Alidoro]

После предварительного объяснения понятия "соответственный" следующее замечание в определение равенства треугольников уже можно не включать:

При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

[Alidoro]

Принадлежат концы отрезка отрезку или нет?

Обычно считается, что принадлежат. В школьной геометрии такие вопросы не считают принципиальными. Например, говорят, что точка разбивает прямую на два луча. Но разбиение предполагает, что лучи не должны пересекаться, а значит точка разбиения принадлежит только одному лучу. Но с другой стороны лучи при таком разбиении всегда предполагаются равноправными. Такой подход противоречит подходу при решении неравенств, которые ученик параллельно проходит в алгебре. Это несоответствие авторы учебников по геометрии пытаются устранять, вводя теоретико-множественный подход, но делают это очень непоследовательно.

[Гость]

Например, говорят, что точка разбивает прямую на два луча.

В данном случае есть указание на принадлежность начала лучу. Получается, что если нет явного указания, то граница не принадлежит фигуре?

[Alidoro]

У Атанасяна про принадлежность начала луча лучу явно не говорится, но по формальному определению начальная точка не принадлежит лучу. А когда он определяет угол, то говорит, что это фигура состоящая из точки и двух лучей. То есть, как бы это подтверждает.

[Гость]

Если гипотеза о непринадлежности концов отрезку верна, то странно выглядит определение треугольника

[Alidoro]

Гость, А почему это странно?

[Гость]

Забор получается дырявый, непривычно

[Ak-sakal]

Принадлежность концов отрезка самому отрезку - вещь достаточно принципиальная, если вы претендуете на аксиоматическое построение геометрии. Но вот поступить так, как в алгебре (тут Вы, Alidoro, правы), рассматривая открытые, полуоткрытые и замкнутые интервалы, геометры почему-то не торопятся.

Рассматривать, как Погорелов, отрезки без концов, а луч без начала достаточно удобно для упрощения доказательств. Главное, появляется возможность не войти в противоречие с понятиями теории множеств. Например, называть отрезки пересекающимися тогда, когда у них «есть общая точка». Александрову, считающему концы отрезка принадлежащими ему, приходится в этом случае говорить об «общей внутренней точке».

Коллизия, очевидно, вызвана тем, что курс школьной геометрии всегда опирался на наглядность. И использование понятия «треугольник» и для шарнирной модели и для модели, вырезанной из бумаги, вполне допускалось. Потом в разных учебниках треугольником называли и замкнутую ломаную, и часть плоскости, ограниченную такой ломаной, и объединение ограниченной части плоскости с границей.

Сегодня мы запросто можем встретить рядом определение четырёхугольника, как замкнутой ломаной, и фразу «диагональ четырёхугольника разбивает его на два треугольника». Или определение угла, как объединения двух лучей и их общего начала, и фразу «биссектриса разбивает угол на две равные части».

Если бы в учебниках всегда вводились все три понятия, пусть и с одинаковым названием, и в каждом конкретном случае уточнялось, в каком смысле надо употребляемое название понимать, было бы чуть более громоздко, но приемлемо с точки зрения строгости изложения.

[Alidoro]

Забор получается дырявый, непривычно

А, понял теперь. Хоть и указано, что точки принадлежат треугольнику, но внутренность ограничена только отрезками, а точки при этом не упоминаются.

[Ak-sakal]

Гость, добрый день.
А какой учебник Вы показываете? Я что-то не узнаю.

[Гость]

Добрый день, Ak-sakal

www.alleng.ru/edu/math1.htm
Посмотрите книги авторства Козловой, там есть и учебник 1 класса и геометрия.

[Ak-sakal]

А "непривычный" забор вовсе и не забор. Дырявая граница - уже не граница, и не только в геометрии=).