Уравнения мат. физики

[Afu-Ra]

Здравствуйте, помогите разобраться с задачкой.

`u_t=u_(x x)+u-x+2sin(2x)*cosx`

`u(0,t)=0`

`u_x(pi/2,t)=1`

`u_t(x,0)=x`

Решение

Я решил понемножку выкладывать решения . Вдруг, что неправильно . Я хоть зря много времени не буду тратить.
У меня просто уже есть сомнения, что неправильно.

Получается, что `X(x)` зависит от `mu`, а `mu` зависит от того, какое значение я выберу `C_2` . Думаю, я что-то неверно делаю. Посмотрите пожалуйста.

@темы: Уравнения мат. физики

Comments

[All_ex]

Сделайте замену `u = v + x` ... тогда получите неоднородное уравнение с нулевыми граничными условиями и начальными данными...

[All_ex]

Кстати, если я не ошибаюсь, то собственные функции определяются как решение задачи с однородными краевыми условиями...
Поэтому у Вас и получилась проблема...

[Afu-Ra]

Мм?

Извините, конечно, что есть немного почеркушек. Но я думаю вроде все понятно.

[Afu-Ra]

Я правильно понимаю, что замена подбирается таким образом, чтобы получались однородные граничные условия?

[All_ex]

Я правильно понимаю, что замена подбирается таким образом, чтобы получались однородные граничные условия? - Да... при этом начальные данные могут быть ненулевыми...

Решение посмотрю позже...

[All_ex]

Собственные функции нашли... Теперь ищите решение в виде разложения по этим функциям...

[Afu-Ra]

У меня вот получается `LX=X''+X=lambdaX` , т.е. `A=1` , `B=0` и `C=1` . Значит отсюда же не следует сразу, что `lambda=-mu^2`? . Надо же это проверять ? Я проверил и получилось, что `lambda=-mu^2+1` , но при любых `mu`. Мне всю эту проверку писать надо же или как?

[Afu-Ra]

Вот так?

[All_ex]

Мне всю эту проверку писать надо же или как? - ну, наверное надо показать, что `lambda = mu^2+1` не даёт собственных чисел... хотя я не знаю как это у Вас принято и на что можно ссылаться...

Я проверил и получилось, что `lambda=-mu^2+1` , но при любых `mu`. - Почему при любых?... Вроде было `mu = 2*n - 1`?... тогда разложение функции сильно упростится... а для коэффициентов `T` будете получать неоднородные уравнения...

[All_ex]

Что-то я уже запутался в Ваших записях.... Кратко резюмирую, что на мой взгляд должно быть...

1) Есть исходная задача `{(u_t = u_{x x} + u - x + 2*sin(2x)*cosx), ( u(0;t) = 0 ), ( u_x(pi/2;t) = 1), ( u_t(x;0) = x ):}` , в которой делаем замену `u = v + x` и получаем `{(v_t = v_{x x} + v + 2*sin(2x)*cosx), ( v(0;t) = 0 ), ( v_x(pi/2;t) = 0), ( v_t(x;0) = x ):}` ...

2) Рассматривается оператор из уравнения... а из задачи `{( \lambda*X = X'' + X), ( X(0) = 0 ; \ \ X'(pi/2) = 0):}` находите собственные функции и собственные числа...

3) Раскладываете правую часть в ряд `2*sin(2x)*cosx = sum f_k*X_k`... и ищите решение начально-краевой задачи в виде ряда `v = sum T_k*X_k`... получаете набор задач Коши для определения коэффициентов разложения `{(T'_k = \lambda*T_k + f_k), (T'(0) = a):}`...

Вот вроде так должно быть...

[Afu-Ra]

Можете зайти сюда посмотреть как мы делаем

www.fizteh.org/elibrary/ Математическая физика/Математическая физика в примерах и задачах. Часть 1/стр. 15

Ну да при `mu=2n+1`. Но у меня было написано еще, что `mu<1` и `mu>1`. Так вот, я думаю, что вот это `mu<1` и `mu>1` лишнее. Да?

По сути то, что Вы написали, я и делал. Т.е. раскладывал функцию `2*sin(2x)*cosx` в ряд . И получил, что `f_n`=0.

И все подставил в исходное уравнение. Правильно же?

[All_ex]

Т.е. раскладывал функцию `2*sin(2x)*cosx` в ряд . И получил, что `f_n`=0. - Ну, не все коэффициенты разложения будут нулевыми... иначе Вы получите, что все `T_k equiv 0`... то есть решение нулевое, чего не может быть поскольку правая часть таки отлична от нуля... ... Я бы на Вашем месте здесь обошёлся без интегралов... какую-нибудь простую тригонометрию используйте...

[Afu-Ra]

`mu=2n+1`, а вот это же `mu<1` и `mu>1` у меня лишнее?

Вот так?

Ну и `T'_n(0)=0`

[All_ex]

а вот это же `mu<1` и `mu>1` - Не понял причём там эти неравенства... ...

`mu=2n+1, AA n >= 0` ... вроде так должно быть...

[All_ex]

Ну, и не той формулой тригонометрической воспользовались...

[Afu-Ra]

вроде так должно быть

Я также думаю.

Почему не той?? А чем мое решение не устраивает?

[All_ex]

Почему не той?? А чем мое решение не устраивает? - Тем что Вы не получили разложения по собственным функциям... Более того, `f_n` - это постоянные коэффициенты... они не могут зависеть от икса...

[Afu-Ra]

Думаю так

Да?

[All_ex]

Ну, с разложением правой части разобрались...
А вот уравнения для `T_n` мне не нравятся... откуда там `1/{mu^2}`?...

[All_ex]

Кстати, ещё ряд (1) странно записан... что такое `(2*n+1)*x`?...

[Afu-Ra]

Хм

Мы же сравниваем коэффиценты при `X_n(x)` . Поэтому и получается `-1/mu^2` Нет?

Кстати, ещё ряд (1) странно записан...

Почему странно?
Надо было записать `mu_n` чтоли? Что-то не понял.

[All_ex]

Почему странно? - Аааа... просто на втором листочке описка... синус не написали...

Мы же сравниваем коэффиценты при `X_n(x)` . Поэтому и получается `-1/mu^2` Нет? - Это кто же Вас так производную учил считать?...

[Afu-Ra]

Аааа... просто на втором листочке описка... синус не написали...

Да точно.

Меня что-то заглючило)) Я вместо производной, интегралы брал.

Теперь норм?

[All_ex]

Ну, Вы вместо `mu` подставьте его значения... кроме того, `+1` будет только при двух значениях `n`...

[Afu-Ra]

Кстатит у Вас было написано в предыдущем комментарии, что `T(0)=0` . Разве не `T'_n(0)=0` ?



Еслии `T'_n(0)=0` , то получается, что `T'_0(t)=1` и `0=1` . Ерунда какая-то.

Если как Вы написали, то `T_0(t)=t`.

[All_ex]

Пардон... я и не заметил, что у Вас в качестве начального данного стоит производная по `t`... тогда после замены начальные данные не станут однородными... ( в своём комменте выше, я подправил...)

Тогда получается, что `{(T'_n = \lambda_n T_n + f_n), (T'_n(0) = a_n):}`, где `f_n = {(1, n=0; 1),(0, n >= 2):}`, а `a_n` - это коэффициенты разложения `x` по собственным функциям...

[Afu-Ra]

Да точно.

Так тогда получается

[Afu-Ra]

Что-то не то получается `T'_0(t)=1` и `T'_0(0)=4/pi`

[All_ex]

Ну, интегралы я с Вашего позволения пересчитывать не буду...

А почему Вы в концовке пишите только про `T_0` и `T_1`?... теперь у Вас все коэффициенты `T_n` будут ненулевыми... так, что решайте эти уравнения в общем виде...

[Afu-Ra]

Так у нас же `2sin(2x)*cosx` будет присутствовать в уравнении, если только `n=0` или `n=1` . Почему мы рассматриваем случаи `n>=2`? При этом же `2sin(2x)*cosx` нет в исходном уравнении. Почему так??

Будем надеяться, что я правильно подсчитал интегралы)