Математическая олимпиада в Колумбии

[wpoms.]

В Колумбии отбор и подготовка школьников к математическим соревнованиям проводятся Olimpiadas Colombianas de Matemáticas. Процесс начинается с региональных соревнований, которые проводятся в октябре и ноябре. Сначала школьники выполняют тесты в своих школах, на основании результатов тестов формируются школьные команды для участия в региональном Дне математики, лучшие школы принимают участие в национальной Неделе математики. Лучшие школьники приглашаются в январе принять участие в тренировочных сборах. Читать дальше ... Национальная олимпиада Колумбии по математике начинается в марте. Она проводится в четыре этапа: классификация, отбор, полуфинал и финал, в трех возрастных группах: первый уровень (6-7 классы), второй уровень (8-9 классы) и третий уровень (10-11 классы). Любой школьник может принять участие в первом, классификационном, этапе, в остальных этапах принимают участие только приглашенные по результатам соревнований школьники. Три лучших школьника в каждой категории объявляются победителями олимпиады. По завершении олимпиады двадцать лучших школьников каждой возрастной группы приглашаются принять участие в июньских тренировочных сборах, во время проведения которых производится отбор участников международных соревнований. С 2000 года, параллельно с национальной олимпиадой и по тем же заданиям, проводится региональная международная математическая олимпиада, известная как Olimpiada Bolivariana de Matematica. В этом году проводится XIV Olimpiada Bolivariana de Matematica и XXXII Olimpiadas Colombianas de Matemáticas. С 18 по 28 июля 2013 года в Колумбии будет проводиться 54 Международная математическая олимпиада. Условия финала олимпиады школьников 2012 года в комментариях ... не приводятся из-за отсутствия в открытом доступе необходимой информации. В качестве утешительного приза можно посмотреть условия финала колумбийской олимпиады для студентов университетов.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

XVI Olimpiada Colombiana de Matematica Universitaria
OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMATICAS
Ronda Final Mayo 11 de 2012
SOCIEDAD COLOMBIANA DE MATEMATICAS

Условия на испанском


1. (4 балла) `f (x)` и `g(x)` - многочлены второй степени, старшие коэффициенты которых равны `1`. `a_1`,`a_2` - корни `f (x)`, `b_1`,`b_2` - корни `g(x)`. Докажите, что `f (b_1)f (b_2) = g(a_1 )g(a_2)`.

----------------------------------------------------------
2. (5 баллов) В квадратной матрице с действительными элементами указаны значения всех элементов за исключением стоящих на главной диагонали. Покажите, что можно разместить нули и единицы на главной диагонали для получения ненулевого определителя матрицы.

----------------------------------------------------------
3. (6 баллов) `x` - действительное число. Целой частью `x` называется наибольшее целое число `[x]`, для которого `[x] <= x`. Дробной частью числа `x` называется действительное число `{x} = x - [x]`. Решите уравнение

`[x]^(4{x}) * {x}^([x]) = 1`

в положительных рациональных числах.

----------------------------------------------------------
4. (6 баллов) `n` - натуральное число. Рассмотрим сумму

`sum 1/(2^(i_1+i_2+...+i_n))`,

где суммирование идет по всем `n`-кам целых чисел `1 <= i_1 <= i_2 <= ... <= i_n`. Докажите, что сумма сходится к

`prod_{i=1}^n (2^{i-1})/(2^i-1)`.

----------------------------------------------------------
5. (7 баллов) `A_1A_2 ... A_n` - выпуклый `n`-угольник. Пусть `A_iA_j` - длина отрезка, соединяющего вершины `A_i` и `A_j`(`1 <= i, j <= n`). В частности, `A_iA_i` = 0 и `p = A_1A_2 + A_2A_3 + ...+ A_{n-1}A_n + A_nA_1` - периметр `n`-угольника. Обозначим `a = A_1A_2` и `An+1 = A_1`.
a) Докажите неравенство

`sum_{k=2}^n (A_1A_k * A_2A_{k+1} - A_2A_k * A_1A_{k+1}) <= (p - a)a`.

b) Определите, для каких `n`-угольников в неравенстве достигается равенство.

----------------------------------------------------------
6. (7 баллов) Назовем целое число `n` `8`-циклическим, если в его представлении в системе счисления с основанием `8`

`n = bar{a_ka_{k-1}...a_2a_1a_0} = sum_{i=0}^k a_i8^i`

не все цифры равны и `n` является делителем `k +1` числа, получаемого циклической перестановкой цифр числа `n` в системе счисления с основанием `8`:

`bar{a_ka_{k_1}...a_2a_1a_0} qquad bar{a_{k-1}a_{k-2} ...a_1a_0a_k} qquad bar{a_{k-2}a_{k-3}...a_0a_ka_{k-1}} qquad ldots qquad bar{a_0a_k ...a_3a_2a_1}`

Найдите все `8`-циклические числа.

----------------------------------------------------------
7. (8 баллов) `x_1`,`x_2` - база векторного пространства `V` над полем рациональных чисел `QQ`. Подгруппа `A` аддитивной группы `V` состоит из векторов, которые представимы в виде

`k/{2^l}*x_1 + m/{5^n}*x_2`,

где `k`, `l`, `m`, `n` - целые числа. Пусть `B = 3A = {3a |a in A}`. Докажите, что существует подгруппа `X` такая, что `B \subset X \subset A` и `X` нельзя представить в виде прямой суммы собственных подгрупп.


Tiempo minimo: 2 1/2 horas. Tiempo maximo: 5 horas.

[All_ex]

Спасибо!... интересные задачи...