Найти предел функции

[loz09]

Помогите найти предел `lim_{x->0} (x^5)/(tg(x)-2arcsin(x)+x)`
Подскажите, пожалуйста, с чего начать? Это вроде неопределенность вида 0/0 получается? Как ее решать дальше? Лучше сначала избавится от тангенса и свести все к синусам и косинусам или не надо этого делать? ПОМОГИТЕ

@темы: Пределы

Comments

[vyv2]

Лучше разложить в ряд Тейлора в окрестности нуля знаменатель до `x^5`включительно.
Можно по правилу Лопиталя, но придется применять 5 раз (правда, если не пользоваться таблицей разложения по Тейлору, то все равно придется находить 5-ые производные) . И совсем тоскливо находить при помощи замечательных пределов. 5-ая производная легко находится в Mathcad.
Ответ должен быть -60

[loz09]

vyv2, спасибо.
Нашла я пятые производные от числителя и знаменателя. Пятые производные у меня получились `lim_(x->0) 120/(-2 ((90 x^2)/(1-x^2)^(7/2)+9/(1-x^2)^(5/2)+(105 x^4)/(1-x^2)^(9/2))+16 sec^6(x)+88 tan^2(x) sec^4(x)+16 tan^4(x) sec^2(x)) = 120/-2 = -60` и предел у меня действительно получился -60. Но, уж очень длинное решение получилось. Теперь сомневаюсь, может не нужно расписывать все производные?

[vyv2]

Я предложил другие способы. Попробуйти и сравните.