… Мне проще спрятать клыки, чем доказывать всем и каждому, что они мне идут
Помогите, пожалуйста, разобраться... Есть задача:
Пусть `varepsilon` - возвратное непериодическое рекуррентное событие. Допустим, что время возвращений имеет конечное среднее `mu` и дисперсию `sigma^2`. Положим `q_n=f_(n+1)+f_(n+2)+...` и `r_n=q_(n+1)+q_(n+2)+...`. Показать, что производящие фукнкции `Q(s)` и `R(s)` сходятся при `s=1`. Доказать, что
`u_0+sum_(n=1)^inf (u_n-1/mu)*s^n = (R(s))/(mu*Q(s))`
и что поэтому
`u_0+sum_(n=1)^inf (u_n-1/mu) =(sigma^2-mu+mu^2)/(2*mu^2)`
Сходимость доказать получилось, а вот что делать с первым и вторым равенством, не понимаю, из-за этого застряла вся курсовая. Кто-нибудь может натолкнуть на мысль, как здесь действовать?
Пусть `varepsilon` - возвратное непериодическое рекуррентное событие. Допустим, что время возвращений имеет конечное среднее `mu` и дисперсию `sigma^2`. Положим `q_n=f_(n+1)+f_(n+2)+...` и `r_n=q_(n+1)+q_(n+2)+...`. Показать, что производящие фукнкции `Q(s)` и `R(s)` сходятся при `s=1`. Доказать, что
`u_0+sum_(n=1)^inf (u_n-1/mu)*s^n = (R(s))/(mu*Q(s))`
и что поэтому
`u_0+sum_(n=1)^inf (u_n-1/mu) =(sigma^2-mu+mu^2)/(2*mu^2)`
Сходимость доказать получилось, а вот что делать с первым и вторым равенством, не понимаю, из-за этого застряла вся курсовая. Кто-нибудь может натолкнуть на мысль, как здесь действовать?
-
-
21.04.2013 в 19:11возвратное непериодическое рекуррентное событие. - Это что?...
`f_(n)` - это видимо вероятности...
`u_k` - что за коэффициенты стоят в том ряде, который Вы рассматриваете?...
Кто-нибудь может натолкнуть на мысль, как здесь действовать? - Уж не знаю насколько это поможет... посмотрите книгу Феллер "Введение в теорию вероятностей и её приложения" Том 1, стр. 270-272 (книга есть на полках сообщества) ... Там для производящих функций доказываются некоторые общие равенства ... возможно, если их переписать для Вашего процесса, то и получиться необходимое...
-
-
21.04.2013 в 23:03я изучила все относящееся к теме производящих функций, что располагалось в книге непосредственно до этой задачи, но к ней приложить что-то совсем не получается...
`u_n` = вероятность того, что `varepsilon` происходит при n-ом испытании
`f_n`= вероятность того, что `varepsilon` впервые происходит при n-ом испытании
еще есть пара теорем, которые, мне кажется, тут могут использоваться, но при этом не до конца понимаю, как это можно осуществить.
если мы изначально знаем, что у нас любая производящая функция записывается как `U(s)=sum_(k=0)^oo u_n*s^n`, где вместо U(s) у нас любая необходимая нам производящая функция (в данном случае, есть R(s), Q(s)), то у нас есть соотношения:
1. `f=sum_(n=1)^oo f_n = F(1)`, причем для возвратного события `f=1`
2. `U(s)=1/(1-F(s))` - соотношение для производящих функций в обозначениях, данных выше
3. `u=sum_(n=0)^oo u_n = F(1)`, причем чтобы событие было возвратным, необходимо и достаточно, чтобы u не была конечной.
4. `u_0=1`, `f_0=0`
5. Теорема. Пусть `varepsilon` возвратно и непериодично, и математическое ожидание времени возвращения `T_nu` это `mu=sum(j*f_j)=F'(1)`. Тогда `u_n -> mu^(-1)` при `n - > oo)
-
-
22.04.2013 в 00:20но доказательство самой формулы все еще под вопросом