Кривая второго порядка.

[Chess18]

Помоги пожалуйста с решением, всю ночь парился, рылся в учебниках, и все безуспешно.

Необходимо исследователь кривую второго порядка (и начертить ее график):
x^2+y^2-4xy+4x-2y+1=0

Проблема в том, что способ, который нам давали на лекции я в книжках так и не нашел, а сам пример на занятие мы толком до конца успеть не разобрали, и в общем я мало что понял.

Как я понял задачу нужно решить с помощью собственных чисел, собственных векторов, и перехода в другую систему координат и обратно.

Должно в итоге получиться:
www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2By%5E2-4xy...

Как не карабкался, не получилось.
Вот начало решения:
s019.radikal.ru/i609/1304/ec/4ab8d786d5e2.jpg

Здесь все преимущественно взято с лекции. Первый знак вопроса - как это строится? и что обозначает? А после второго пошло предполагаемое решение, выразить x' и y' подставить в форму решить и потом подставить обратно, в итоге даже получилось две прямые, но совсем не те, которые нужны.

Уже глаза слипаются... Хотя бы теорию найти по этой тематики, везде разбирается все отдельно: эллипс, гипербола, парабола, а так чтобы общий способ, как здесь не нашел.

Кто может помогите пожалуйста, необходимо до пятницы управиться... Точнее до сегодня)) Но что поделать.

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка, Высшая алгебра, Высшая геометрия

Comments

[Гость]

Вот начало решения:

Картинка (1930х2560 точек) весит 1.5 Мб и содержит 200 символов текста.

Текстовую часть решения лучше оформить в формате скрипта (eek.diary.ru/p164249281.htm), а иллюстрацию загрузить в БИ дневников.

[Alidoro]

У вас ошибка, когда вы стали выводить формулы преобразования координат.
x, y это координаты в старом базисе, x', y' координаты в новом базисе. Q это матрица перехода. В матричном виде должно быть так:
`(x,y)^T=Q(x',y')^T`. Отсюда `x=(x'+y')/2`, `y=(-x'+y')/2`. Для того, чтобы найти обратное преобразование, вообще говоря, нужно искать матрицу обратную к матрице Q. Но в вашем случае матрица Q ортогональна, и для нахождения обратной ее достаточно транспонировать. Так что не требуется вычислять обратные преобразования так сложно, как это делаете вы.

[Epygraph]

Запасной вариант решения (без собственных векторов). Решайте уравнение как квадратное относительно `y`. Получите два решения `y=2x+1+x\sqrt{3}` и `y=2x+1-x\sqrt{3}`. Эти линейные уравнения задают две прямые. Ваша кривая есть объединение этих прямых.