помогите разобраться...

[Nicas]

1.Найти область сходимости рядов:
a)`sum_(n=1)^(oo) {2^n*x^n}/(n^2+1)`
б)`sum_(n=1)^(oo) {(x-4)^(2n-1)}/(2n-1)`
2.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в указанной точке x_0.Указать область сходимости полученного ряда к этой функции:
f(x)=cos5x,x_0=0
3.Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,вычислить указанный определенный интеграл с точностью до Е=0,001
`int_(0)^(0,25) ln(1+sqrt(x))*dx`

@темы: Ряды

Comments

[All_ex]

Вы нашли интервал сходимости `-1/2 < x < 1/2` ... Теперь исследуете граничные точки...
Подставили `x = -1/2` ... получился такой ряд, теперь нужно найти область сходимости,т.е икс... - Теперь надо исследовать его на сходимость....
Если написанный числовой ряд сходится, то `x = -1/2` будет включена в область сходимости...

Получается область сходимости даже искать не надо? - Если факт о сходимости ряда для косинуса у Вас является известным, то не надо...

попробовал 3 ... получилось вот так: - В разложении логарифма в знаменателях не будет факториала...
Вычисление надо проводить с заданной точностью, поэтому просто трёх слагаемых может не хватить...
Нужно выписывать остаток... инегрировать... оценивать... и смотреть при каком числе слагаемых он будет меньше, чем `epsilon`...

[Nicas]

да,под а) предел получится 0-сходится (при подставлении x=-1/2)


ну как,про область косинуса и синуса я из лекции помню,поэтому и не знаю-нужно ли её искать если она и так известна


с факториалом да,лишнее
но заданная точность же равна 0,001 как раз же на три слагаемых.А вот с этим Нужно выписывать остаток... инегрировать... оценивать... и смотреть при каком числе слагаемых он будет меньше, чем `epsilon`... получается что я сделал вообще не так?А остаток,это как?

[All_ex]

да,под а) предел получится 0-сходится (при подставлении x=-1/2) - предел чего?... Прочитайте мой коммент в Вашем параллельном топике... я уже Вам писал, что необходимый признак не указывает на сходимость...

[All_ex]

и не знаю-нужно ли её искать если она и так известна - Ну, известна, так известна...

получается что я сделал вообще не так? - Начали так, но это не всё, что надо было сделать...
А остаток,это как? - Ну, откройте учебник... и посмотрите как выглядит остаточный член формулы Тейлора... например, в форме Лагранжа...

[Nicas]

за сегодня устал сильно,сейчас "тормозить" как всегда начну,завтра попытаюсь полным решением сделать последнее задание...

[All_ex]

ну, тогда до завтра...

[Nicas]

получилось вот так: `ln(1+sqrt(x)=sqrt(x)-x/(2!)+{(sqrt(x))^3}/(3!)-...`
`int_(0)^(0,25) ln(1+sqrt(x))dx=int_(0)^(0,25) (sqrt(x)-x/(2!)+{(sqrt(x))^3}/(3!))dx={2sqrt(x^3)}/3-(x^2)/4+({2* root(5)(x)}/5)/6=1/12-1/64+1/15*32=67/960=0,06979..."
вроде так,ответ нашел там 0,070

[Nicas]

http://static.diary.ru/userdir/3/0/7/0/3070581/78122068.jpg


по этому примеру делал

[All_ex]

по этому примеру делал - Ну, там тоже обоснования нет... более того, там тоже выписано неправильное число слагаемых...

Степенной ряд можно интегрировать почленно... поэтому изначально надо писать `int_{0}^{1/4} [sum_{n = 1}^{infty} ...] dx = sum_{n = 1}^{infty} [ int_{0}^{1/4}... dx] = ...`
Затем, поскольку ряд знакопеременный, воспользоваться простейшей оценкой для величины остатка - отбрасываемых слагаемых (эта оценка используется при доказательстве теоремы Лейбница)... и складываемым слагаемые до тех пор, пока остаток не станет меньше, чем данная точность...

[Nicas]

мда..."офигенно" нам тогда тему прочитали про ряды...пример с лекции был...

[Nicas]

А можете дать какой-нибудь пример по моему типу задания.просто чтобы наглядно было видно что и как делается

[All_ex]

Ну, например, вычислить с точностью `epsilon = 0.001` интеграл `int_{0}^{1} x*cos(x)*dx`...

`int_{0}^{1} x * cos(x) * dx = int_{0}^{1} x * sum_{n = 0}^{infty} { (-1)^{n+ 1} * x^{2*n} }/{(2*n)!} *dx = `
`= int_{0}^{1} sum_{n = 0}^{infty} { (-1)^{n+ 1} * x^{2*n + 1} }/{(2*n)!} *dx = sum_{n = 0}^{infty} int_{0}^{1} { (-1)^{n+ 1} * x^{2*n + 1} }/{(2*n)!} *dx = `
` = sum_{n = 0}^{infty} { (-1)^{n+ 1} }/{(2*n)!} * {x^{2*n + 2}}/{2*n +2}|_{0}^{1} = sum_{n = 0}^{infty} { (-1)^{n+ 1} }/{(2*n)! * (2*n +2)} `

Любой ряд можно представить как сумму двух слагаемых - частичной суммы и остатка... частичная сумма будет давать искомое приближённое значение, а остаток - это контроль погрешности вычислений...
`int_{0}^{1} x * cos(x) * dx = sum_{n = 0}^{N - 1} { (-1)^{n+ 1} }/{(2*n)! * (2*n +2)} + R_N`

Поскольку ряд знакопеременный, то остаток `R_N = sum_{n = N }^{infty} { (-1)^{n+ 1} }/{(2*n)! * (2*n +2)}` тоже является знакопеременным рядом...
Для знакопеременных рядов справедливо неравенство `sum_{k = 1}^{infty} (-1)^{k+1} * a_k <= a_1`...
Следовательно, модуль остатка не превосходит своего первого члена.... `|R_N| <= 1/{(2*N)! * (2*N +2)}`...

Осталось вычислить значение частичной суммы `S_N = sum_{n = 1}^{N} { (-1)^{n+ 1} }/{(2*n)! * (2*n +2)}`, содержащей все члены ряда, которые будут больше, чем `epsilon`...
Здесь можно просто последовательно вычислять величину слагаемых, параллельно контролируя точность...
`N=1: \ \ S_1 = 1/2, \ \ |R_1| < 1/{2! * 4} = 1/8`
`N=2: \ \ S_2 = 1/2 - 1/8 = 3/8, \ \ |R_2| < 1/{4! * 6} = 1/144`
`N=3: \ \ S_3 = 3/8 + 1/144 = 55/144, \ \ |R_3| < 1/{6! * 8} = 1/5760 < 0.001 = epsilon`, следовательно, `int_{0}^{1} x * cos(x) * dx = 55/144 ~~ 0.38194`



Ещё раз обращу внимание, что здесь знакопеременный ряд... в других ситуациях остаток оценивается по другому...