Полный квадрат

[wpoms.]

Пусть `x, y, z` натуральные числа, удовлетворяющие равенству `1/x - 1/y = 1/z`, а число `h` является наибольшим общим делителем `x, y, z`. а) Докажите, что `h*x*y*z` является полным квадратом. б) Докажите, что `h*(y - x)` так же является полным квадратом.

@темы: Теория чисел

Comments

[Adjirranirr]

Пусть `x = h*u,\ y = h*v,\ z = h*w`. Тогда `gcd(u,\ v,\ w) = 1` и
`1/u - 1/v = 1/w`. Пусть теперь `v = u + p,\ w = u + q`, тогда `\frac {p} {u (u + p)} = \frac {1} {u + q}`, и `\frac {u^2}{p} = q => p*q = u^2`. `gcd(u,\ p,\ q) = 1`, так как в противном случае не выполнялось бы `gcd(u,\ v,\ w) = 1`, а значит, оба числа `p` и `q` — полные квадраты (иначе `p` и `q` содержали бы одновременно множитель `r != k^2` и `gcd(u,\ p,\ q) >= r`). А значит, `v - u = k^2` и `h * (y - x) = h^2 (v - u) = (kh)^2`, и `h*x*y*z = h^4 * u*v*w = h^4 * \frac {v * u} {v - u} * v * u = (\frac {h^2 * v * u} {k})^2`.