Планиметрия

[wpoms.]

В треугольнике `ABC` `/_BAC > /_BCA`. Прямая `AP` проходит так, что `/_PAC = /_BCA`, где `P` - точка, расположенная внутри треугольника. Точка `Q` расположена вне треугольника так, что `PQ` параллельно `AB`, а `BQ` параллельно `AC`. Точка `R` лежит на `BC` так, что `R` и `Q` расположены в разных полуплоскостях относительно прямой `AP`, и так, что `/_PRQ = /_BCA`. Докажите, что окружности, описанные около треугольников `ABC` и `PQR`, касаются друг друга.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Доброго времени всем) wpoms., спасибо)) Еще одна несложная и симпатичная задача =)

[VEk]

Спасибо! Очень симпатичная задачка, и несложная. Возьмем на заметку.

[~ghost]

Еще раз всем доброго времени
VEk, и все-все))
можно мне вывести решение (или рисунок) ? - а то я умею решать "в обход" даже самые простые задачи.. ))
(интересно - здесь сделала "самое простое", что можно было, или я снова "в своем стиле".. ? =))

[VEk]

~ghost, ВЫ имеете право публиковать любые решения.

[~ghost]

..решить неправильно (особенно "доказать неправильно") - здесь трудно.. но вот "в объезд" — это у меня получается часто

как-то так..

1) проводим окружность `omega_1` - описанную вокруг треугольника `ABC`, и получаем точку `D` - пересечение `BQ` с этой окружностью `omega_1`;
2) `/_ADB = /_DAC = gamma`, а по условию и `/_PRQ = gamma`, т.е. вокруг 4-угольника `PQDR` можно описать окружность ( окр—ть `omega_2`, описанная вокруг треуг—ка `PQR`, проходит и через точку `D`);
3) если в точке `D` провести касательную к `omega_1`, то она образует с хордой `BD` угол равный вписанному углу `/_BAD = alpha - gamma`;
а т.к. `PQ`||`AB`, то и угол `/_QPD = /_BAD = alpha - gamma`, т.е. касательная к `omega_2` в точке `D` тоже образует угол `= alpha - gamma` с хордой `QD` (и с прямой `BD`), — т.е. касательная к окружности `omega_1`, и касательная к `omega_2` в точке `D` - это одна и та же прямая

[All_ex]

А если провести `AP` до `BQ` - получить точку `D`... Равенство `/_ BDA` с данными в условии очевидна (он накрест лежащий с `/_ DAC`)...

Можно ведь утверждать, что `D` лежит на окружности, описанной около треугольника `ABC`, поскольку `/_ BDA = /_ BCA`?... или это всё же требует обоснования?...

[~ghost]

All_ex)) мне кажется, все равно, как получить точку `D` - она очевидно на 1-ой окружности.. ( углы равны `/_BDA = /_BCA` - да, этим равенством углов все обосновано..) Только потом надо "договорить" о том, что и 2-ая окружность через точку `D` проходит тоже.. )
или я где-то Вашу идею не уловила ? ))

[All_ex]

Я просто не дописал...

Проводим `AP` до пересечения с `BQ` - получаем точку `D`... Равенство `/_ BDA` с данными в условии очевидна (он накрест лежащий с `/_ DAC`)...
1) `D` лежит на окружности, описанной около треугольника `ABC`, поскольку `/_ BDA = /_ BCA` и угла опираются на один отрезок `AB` (типа ссылка на геометрическое место точек полуплоскости, из которого отрезок виден под одним углом)...
2) `D` лежит на окружности, описанной около треугольника `PQR`, поскольку `/_ PRQ = /_ PDQ` и угла опираются на один отрезок `PQ`...
Вывод: `D` - общая точка.

[~ghost]

All_ex,
и все равно еще сказать про касательную (которая одна и та же для обеих окружностей — чтобы получалось, что общая точка - именно точка касания..);
в решениях разница в том, как мы получали точку `D` - но и так, и так хорошо..))

[All_ex]

~ghost, да, я уже понял, что не доказал касания... ...

только сознаться не успел....

говорю же, что я нынче медлителен...