Найти неопределенные интегралы

[Jhoney059]

1) `int 1/((cosx)^2)*sqrt(1+tgx)dx` ;
2) `int (arcsinx)/sqrt(x+1)dx` ;
3) `int x/(2x^2+3x+1)dx` ;
4) `int 1/(sqrt(x)+root(3)(x)+2*root(4)(x))dx` ;
5) `int 1/(2cosx-sinx)dx` ;

@темы: Интегралы

Comments

[_ТошА_]

1) `1/(cos^2(x))dx = d(tg(x))`
2) по частям
3) Выделите полный квадрат в знаменателе и подгоните числитель
4) `t = x^(1/12)`
5) `t = tg(x/2)`

[Jhoney059]

1) `int 1/((cosx)^2)*sqrt(1+tgx)dx= (tg(x)+C)(int dx/sqrt(1+tg(x)))`

[~ghost]

ого.. Jhoney059, что Вы с ним сделали ? (

[Jhoney059]

`(int dx/sqrt(1+tg(x)))`- не могу продезинфицировать

[Jhoney059]

дифференцировать то есть))

[~ghost]

Jhoney059, мединститут ? =)
Такого интеграла, как Вы написали, там просто не будет.. Еще раз: `d(tg(x)) = 1/((cos x)^2)*dx`; наверное, Вам удобней будет записывать через замену.. Обозначьте `t = tg x +1` — и если была замена, то надо пересчитать дифференциал
( и как он "пересчитается" - Вам уже написали.. `dt = d(tg x +1) = d(tg x) = 1/((cos x)^2)dx`, т.е. останется запись `int sqrt(t)dt`
(знаменатель `(cos x)^2` стал частью дифференциала `dt`) )
-----------------------------
А с интегралом `int sqrt(t)dt = int (t^(1/2))dt` - уже разберитесь..

[Jhoney059]

вот что нарешал я...
`int sqrt(t)dt= 2/3*(1+tg(x))^3/2 +C`

[~ghost]

Да, "это оно"..
только степень `(3/2)` при наборе берите в скобки..) а то в скрипте выглядит так, как будто (1+tg x)^3 делится на 2

[Jhoney059]

хорошо,второй значит так же с заменой?

[~ghost]

Не-а.. Там не так.. Тогда уже "с двумя заменами" =) А точнее: посмотрите где-нибудь в учебнике, что такое "интегрирование по частям" (и запишите `u = arcsin x` => `du =... ` (найдите), и `dv = (1/sqrt(x+1))dx` => `v =... `(найдите))

[Jhoney059]

`du= dx/sqrt(1-x^2)`
`v =2*sqrt(x+1)+C`
`int udv=uv-int vdu`
`int (arcsinx)/sqrt(x+1)dx=2arcsinx*sqrt(x+1)-2int (sqrt(x+1))/(sqrt(1-x^2))dx`

[_ТошА_]

Теперь `1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)`

[~ghost]

Да) для `v =...` там `+C` не пишется, но вообще - пока все так..
Дальше: `sqrt(1-x^2) = sqrt((1-x)*(1+x)) = sqrt(1+x)*sqrt(1-x)`
и выражение вида `A/sqrt(A)` можно сократить..

[Jhoney059]

получилось: `2arcsinx*sqrt(x+1)-4(sqrt(1-x))+C`

[~ghost]

С точностью до одного знака..
(один знак неверно - найдите..)

[Jhoney059]

`-2arcsinx*sqrt(x+1)-4(sqrt(1-x))+C`

[~ghost]

No.. До этого лучше было..
Если получилось так: `2*arcsin(x)*sqrt(x+1) - 2*int 1/(sqrt(1-x))dx` - то теперь, чему будет равен интеграл `int 1/(sqrt(1-x))dx`?

[Jhoney059]

`2arcsinx*sqrt(x+1)+4(sqrt(1-x))+C`

[~ghost]

да (если совсем дотошно, то в `int 1/(sqrt(1-x))dx` можно еще написать замену `t = 1-x`, => ` dt = - dx`, =>
=> `int (1/sqrt(t))(-dt) = - int dt/sqrt(t) = -2sqrt(1-x)`, и перед ним еще был "минус"... — но всё это и так видно..)

[Jhoney059]

хорошо,спасибо!
теперь третий: `int x/(2x^2+3x+1)dx`
выделил полный квадрат из знаменателя: 2(x+3/4)^2-9/8

[_ТошА_]

Думайте дальше сами, какой смысл подсказывать вам на каждом шаге?

[~ghost]

В общем, похоже - только там еще `+1` в знаменателе - Вы про нее что-то не пишете.. и "2" (т.е. `1/2` лучше сразу за интеграл)
Как -то так: `1/2*int (xdx)/((x + 3/4)^2 - 9/16 +1/2) ` — если не привыкли еще к интегралам - опять пишите замену
`t = x + 3/4` (т.е. `x = t - 3/4`) и `dt = dx`; т.е. `1/2*int ((t- 3/4)dt)/(t^2 - 1/16)` — а так как `int (tdt)/(t^2 - a^2) ` и `int (dt)/(t^2 - a^2)` берутся по разному - то надо разбивать на 2 интеграла: `1/2*int ((t- 3/4)dt)/(t^2 - 1/16) = 1/2*int (tdt)/(t^2 - 1/16) - 1/2*3/4*int (dt)/(t^2 - 1/16)`
дальше сами )

[~ghost]

Тоша, sorry )) я больше не буду

[Jhoney059]

спасибо,тогда ответы выложу потом, проверить...

[_ТошА_]

Проверить сами можете, продифференцировав

[Jhoney059]

`1/4ln(16x+11)-3/4ln(4x-2)-3/4ln(4x+4)+c`

[Jhoney059]

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА с 4 интегралом,не могу решить дальше...
`1/12 int(dt/(t^(11/2)+t^(11/2)+2t^(11/4))`

[Adjirranirr]

Jhoney059, кошмар какой-то. Вам же сказали, сделайте замену `x = t^12`.

[Jhoney059]

`dx=12t^11dt`
`12 int (t^11)/(t^6+t^4+2t^3)`

[_ТошА_]

Сократите на t^3