Последовательности

[Dragon75]

Тут а- точка "сгущения"(предел функции) а e - радиус окрестности точки a

Определение. Число a называется пределом последовательности
x(n) , если для любого положительного числа e найдѐтся такое
действительное число k , что при всех n > k выполняется неравенство
|x(n)- a|< e .

Так объясняется в моей книжке, но я совсем не понял про число k, ещё пишется что в k самое главное заключается(и оно зависит от e) но я не понимаю, его произвольно брать? и зачем вообще нужно было брать какое-то k равное обратной величине радиуса окрестности точки a? и ещё объясните пожалуйста про оптическое увеличение - почему опт.ув. это уменьшение e?

@темы: Пределы

Comments

[All_ex]

Неравенство |x(n)- a|< e определяет окрестность точки (то есть множество точек удалённых от `a` на расстояние меньше, чем `epsilon`)...
`k` - это оценка сверху для числа элементов, которые удалены на расстояние большее, чем `epsilon`.. то есть не лежат в окрестности...
Понятно, что чем меньше окрестность, тем больше `k`... (и выбирать его произвольно нельзя...)

и ещё объясните пожалуйста про оптическое увеличение - что Вы понимаете под этим термином?...

[Dragon75]

Неравенство |x(n)- a|< e определяет окрестность точки (то есть множество точек удалённых от `a` на расстояние меньше, чем `epsilon`)...
Это я понимаю)
`k` - это оценка сверху для числа элементов, которые удалены на расстояние большее, чем `epsilon`.. то есть не лежат в окрестности...
Так почему так понятно не могли написать в книжке, просто написали что если найдется любое действительное число k (но определение k вроде понял)
Понятно, что чем меньше окрестность, тем больше `k`... (и выбирать его произвольно нельзя...)
А почему чем меньше окрестность тем больше k и как его выбирать?

Написано оптическому увеличению соответствует уменьшение 'epsilon' поэтому под ним можно сказать я ничего не понял)

[Dragon75]

Есть пример: последовательность x(n)=1/n взяли симметричный интервал (-e;e) и как раз написано оптическому увеличению соответствует уменьшение 'epsilon'. Далее Пусть k=1/e (выбрали k руководствуясь чем?) Тогда 1/nk т.е равенсто |x(n)- a|< e выполняется

[All_ex]

А почему чем меньше окрестность тем больше k - Чем меньше расстояние до предельной точки, тем больше элементов оказывается снаружи окрестности....

и как его выбирать? - Рассматриваете неравенство `|x_n - a| < epsilon` и решаете его... отсюда получаете оценку для числа элементов, расположенных вне окрестности...
Например, `|n/{n+1} - 1| < epsilon \ \ => \ \ |{-1}/{n+1}| < epsilon \ \ => \ \ 1/{n+1} < epsilon \ \ => \ \ n > 1/{epsilon} - 1` ... То есть `k(epsilon) = [1/{epsilon} - 1]`... (квадратные скобки - это целая часть числа) ...

[Dragon75]

а что значат скобки { } ?
а руководствуясь чем все таки выбирать k - это ведь не число всех чисел за окрестностью а как-бы "оценка" ?

Или решить неравенство |x_n - a| < epsilon и получим k ?

n > 1/{epsilon} - 1` ... То есть `k(epsilon) = [1/{epsilon} - 1]`...

Так ведь n больше 1/{epsilon} - 1 почему из этого следует что k(epsilon) = 1/{epsilon} - 1`...
k= epsilon разве???

[All_ex]

а что значат скобки { } ? - это выделение числителя и знаменателя дроби... поизучайте это eek.diary.ru/p164249281.htm на досуге ... и установите скрипт...

а руководствуясь чем все таки выбирать k - это ведь не число всех чисел за окрестностью а как-бы "оценка" ? - число всех чисел за окрестностью - это тоже оценка сверху... только наименьшая из возможных...

Так ведь n больше 1/{epsilon} - 1 почему из этого следует что k(epsilon) = 1/{epsilon} - 1`... k= epsilon разве??? - В целом создаётся твёрдое ощущение, что учебников Вы не открывали... и определения предела толком не знаете...

[Dragon75]

Предел это такая точка к которой как-бы сгущается последовательность, и в окрестности которой содержатся все члены последовательности с некоторого n
Я у учителя спросил, он сказал что понимает k как точку, после которой начинаются числа входящие в окрестность, то есть epsilon что ли?
И кстати число всех чисел за окрестностью - это тоже оценка сверху... только наименьшая из возможных... а разве не наибольшая? ведь ВСЕ числа за окрестностью.