[Драгуняш]

Здравствуйте.
Можете помочь с решением заданий?
Ну и проверить правильность моего собственного решения.

Картинка с заданием

Исследовать функцию и построить график:
Решал по алгоритму, данному преподавателем.

1) `y = (-1/8)*x^3 + 3/2*x`

Решение

1) Находим ООФ, интервалы дифференцирования и точки разрыва
`x in R`
2) Находим ассимптомы графика функции
`lim_(x -> oo) ((-1/8)x^3 + 3/2x)/x = `

3)Находим интервалы монотонности и экстремумы функции
`y' = (-1/8)*3x^2 + 3/2 = (-3/8)x^2 + 3/2 = ((-3)x^2+ 12)/8 = (12-3x^2)/x`

`(12-3x^2)/8 = 0`

`12-3x^2 = 0`

`-3x^2 = - 12`

`3x^2 = 12`

`x^2 = 9`

`x1 = 3`

`x2 = - 3`

4) Находим интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика
`y'' = (-3/4)x`
`(-3/4)x = 0`
`x = 0`

5) Находим дополнительные точки (пересечение с осями координат), устанавливаем характеристики функции
Если x in (-oo; -3), то y' <0, а функция убывает
Если x = - 3 то y' = 0, а y = -9/8
Если x in (-3;3), то y>0, а функция возрастает
Если x = 3 то y' = 0, а y = 9/8
Если x in (3;+oo), то y' <0, а функция убывает

Дополнительные точки:
`y (1) = 11/8`
`y (2) = 2`
`y (3) = 9/8`
`y (-1) = -11/8`
`y (-2) = -2`
`y (-3) = -9/8`


2) `y = -((e^(x+2))/(x+2))`

3) `y = (2x^3+1)/(x^2)`

Начало решения

1) `x != 0`
2) `lim_(x -> oo) ((2x^3 + 1)/(x^2))/x = lim_(x -> oo) (2x^3+1)/x^2 = lim_(x -> oo) (2x^3+1)/x^3 = lim_(x -> oo) 2x^3/x^3 + lim_(x -> oo) 1/x^3 = 2 lim_(x -> oo) x^3 / x^3 = 2`
`k = 2`
`b = lim_(x -> 0+) ((2x^3+1)/(x^2) - 2)`

3) `y' = (6x^4 - 2x^4)/x^4 = 4`

А дальше не знаю.

запись создана: 01.12.2012 в 17:05

@темы: Функции, Пределы, Производная

Comments

[VEk]

3) Зачем Вы делите на x при вычислении одностороннего предела в точке 0? Там будет вертикальная асимптота. Ваши пределы относятся к наклонной асимптоте, но в них `x -> oo`
Производная посчитана неверно.

[Драгуняш]

3) Зачем Вы делите на x при вычислении одностороннего предела в точке 0?

Это нахождение К по формуле `lim_(x -> +-oo) (f(x))/x`
Для нахождения наклонных ассимптот.

[VEk]

Это нахождение К по формуле

Вот именно! Но у Вас в вычислениях `x -> +0`.
В №1 пределы тоже посчитаны неверно. Там нет асимптот.

[Драгуняш]

Вот именно! Но у Вас в вычислениях `x -> +0`.
В №1 пределы тоже посчитаны неверно. Там нет асимптот.

Ну да, косяк, я из-за х не равного 0 так решил поставить.
Я, честно говоря, не понял, чего там с пределами делать.

[Драгуняш]

Вот именно! Но у Вас в вычислениях `x -> +0`.
В №1 пределы тоже посчитаны неверно. Там нет асимптот.

Ну да, косяк, я из-за х не равного 0 так решил поставить.
Я, честно говоря, не понял, чего там с пределами делать.

[VEk]

Я, честно говоря, не понял, чего там с пределами делать.

Только правильно вычислить. Перед исследованием функции эту тему (вычисление пределов) должны были отработать. Вы этого не сделали, вот и проблемы.

[Драгуняш]

Только правильно вычислить. Перед исследованием функции эту тему (вычисление пределов) должны были отработать. Вы этого не сделали, вот и проблемы.

Не, это я понял, но я там насокращал чего только можно правильно или нет, не знаю, а потом в ступоре.

[VEk]

Могу только сказать, что сокращение в строке 2) в №3 неверное. Точнее, там дробь неверно приведена из трехэтажной к двухэтажной. Это, насколько понимаю, проблема из 5-6 класса.

[Драгуняш]

VEk, ошибку нашел, я придурок, а дальше как сделано?

[VEk]

Исправляйте ошибки, тогда посмотрим. И, пожалуйста, по одной задаче. Можете вставить фото своего решения, если почерк разборчивый.

[Драгуняш]

Вот решение

[VEk]

Пропущенный предел в 2) равен бесконечности. Асимптот здесь нет. после вычисления второй производной надо определить участки выпуклости вверх и вниз. После этого можно рисовать график. Табличка с характером изменения графика - верная.

[Драгуняш]

VEk, а как с этими участками? Я тут у себя в тетрадях порылся - не нашел.

[Драгуняш]

И график к этой задачи есть в начале поста, в задании для всех трех примеров.

[VEk]

График в районе начала координат нарисован верно. Но надо показать. что он уходит на бесконечность при отдалении от начала координат.
Если y'' > 0, то график функции имеет выпуклость вниз, иначе - вверх. Это должно быть в теории (на лекциях, в учебнике и т.п.)

[Драгуняш]

А, ну это понятно, значит ветки просто продолжить, чтобы показать бесконечность, раз ограничения нет?
Ведь если чертить по точкам, то график так и будет.

[VEk]

Да.

[Драгуняш]

Ага, спасибо, значит первая задача решена, а с третьей как? Тоже решение прописать желательно?

[VEk]

Естественно. Никто за Вас решать не будет, тем более такую простую задачу. Пишите решение, проверим, подскажем.

[Драгуняш]

VEk, не, я к тому, что тот вариант, что выше не очень вышел?
Задачи простые, да, но западают еще со школы с дефференцированием.

[Драгуняш]

Ну вот, не до конца правда, видимо не правильно взял производную

[VEk]

Под цифрой 2 предел равен 2, т.е. тут имеется наклонная асимптота. В предпоследней строке в числителе у x^2 должен стоять знак производной. Кроме того у дроби появится знак минус, так как Вы перепутали порядок слагаемых в числителе.

[Драгуняш]

VEk, да, два, я тоже думал, но мало ли, вдруг не правильно.
Знак производной?
Да и кажется я еще и со степенями напутал.

[Драгуняш]

[VEk]

В предпоследней строке в числителе последний множитель 2x, а не x^2. Уже указывал про это.
Кроме того, для нахождения асимптоты надо найти еще один предел.

[Драгуняш]

VEk, а, да, тупанул.
Но если поменять на 2х, то в итоге получится
`(2x^3-2)/(x^3) = (2(x^3))/(x^3) = (2(x^3-1))/((x^3-1)+1) = 2/1 = 2`
можно так?

[VEk]

Так нельзя. Равенства имеют место только в предельных переходах (кроме последнего). Спокойной ночи, завтра рано вставать.

[Драгуняш]

VEk, спокойной ночи, спасибо за помощь.

[Драгуняш]

1) `y = (-1/8)*x^3 + 3/2*x`

Решение

1)`x in R`

2)`lim_(x -> oo) ((-1/8)x^3 + 3/2x)/x = lim_(x -> oo) (x(-1/8)x^2 + 3/2)/x = lim_(x -> oo) (-1/8)x^2 + 3/2 = lim_(x -> oo) (12-x^2)/8 = (12- oo^2)/8 = [oo/oo]`

3)`y' = (-1/8)*3x^2 + 3/2 = (-3/8)x^2 + 3/2 = ((-3)x^2+ 12)/8 = (12-3x^2)/x`

`(12-3x^2)/8 = 0`
`12-3x^2 = 0`
`-3x^2 = - 12`
`3x^2 = 12`
`x^2 = 9`
`x1 = 2`
`x2 = - 2`

4)`y'' = (-3/4)x`
`(-3/4)x = 0`
`x = 0`

5)Если x in (-oo; -2), то y' <0, а функция убывает
Если x = - 2 то y' = 0, а y = -2
Если x in (-2;2), то y>0, а функция возрастает
Если x = 2 то y' = 0, а y = 2
Если x in (2;+oo), то y' <0, а функция убывает

Дополнительные точки:
`y (1) = 11/8`
`y (3) = 9/8`
`y (-1) = -11/8`
`y (-3) = -9/8`


3) `y = (2x^3+1)/(x^2)`

Начало решения

1) `x != 0`

2) `lim_(x -> oo) ((2x^3 + 1)/(x^2))/x = lim_(x -> oo) (2x^3+1)/x^3 = 2 lim_(x -> oo) (x^3+1)/x^3 = 2`
`k = 2`
`b = lim_(x -> 0+) ((2x^3+1)/(x^2) - 2)`

3) `y' = (6x^2*x^2 - 2x*( 2x^3+1))/x^4 = (6x^4-4x^4-2x)/x^4` = 2x(x^3-1)/x^4 = 2(x^3-1)/x^3

`2(x^3-1)/x^3 = 0`

ОДЗ: `x^3 != 0`
`x !=0`

`2(x^3-1) = 0`
`x^3-1= 0`
`x^3= 1`
`x= 1`

4)` y'' = (2(x^3-1)*3x^2 - 3x^2*x^3)/x^5 = (6x^5 - 6x^2 - 3x^5)/x^5 = (3x^5-6x^2)/x^5 = (3x^2(x^3 - 2)) / x^5 = (3(x^3 - 2))/x^3`

`3(x^3-2)/x^3 = 0`

ОДЗ: `x^3 != 0`
`x !=0`

`3(x^3 - 2) = 0`
`x^3-2= 0`
`x^3= 2`
`x1= 2^(-3)`
`x2 = - 2^(-3)`

Так?

[Драгуняш]

3) `y = (2x^3+1)/(x^2)`

Дополнительные точки:
`y (1) = 3`
`y (2) = 17/4`
`y (3) = 55/9`
`y (-1) = - 1`
`y (-2) = - 15/4`
`y (-3) = - 53/9`