[Драгуняш]

Здравствуйте.
Можете помочь с решением заданий?
Ну и проверить правильность моего собственного решения.

Картинка с заданием

Исследовать функцию и построить график:
Решал по алгоритму, данному преподавателем.

1) `y = (-1/8)*x^3 + 3/2*x`

Решение

1) Находим ООФ, интервалы дифференцирования и точки разрыва
`x in R`
2) Находим ассимптомы графика функции
`lim_(x -> oo) ((-1/8)x^3 + 3/2x)/x = `

3)Находим интервалы монотонности и экстремумы функции
`y' = (-1/8)*3x^2 + 3/2 = (-3/8)x^2 + 3/2 = ((-3)x^2+ 12)/8 = (12-3x^2)/x`

`(12-3x^2)/8 = 0`

`12-3x^2 = 0`

`-3x^2 = - 12`

`3x^2 = 12`

`x^2 = 9`

`x1 = 3`

`x2 = - 3`

4) Находим интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика
`y'' = (-3/4)x`
`(-3/4)x = 0`
`x = 0`

5) Находим дополнительные точки (пересечение с осями координат), устанавливаем характеристики функции
Если x in (-oo; -3), то y' <0, а функция убывает
Если x = - 3 то y' = 0, а y = -9/8
Если x in (-3;3), то y>0, а функция возрастает
Если x = 3 то y' = 0, а y = 9/8
Если x in (3;+oo), то y' <0, а функция убывает

Дополнительные точки:
`y (1) = 11/8`
`y (2) = 2`
`y (3) = 9/8`
`y (-1) = -11/8`
`y (-2) = -2`
`y (-3) = -9/8`


2) `y = -((e^(x+2))/(x+2))`

3) `y = (2x^3+1)/(x^2)`

Начало решения

1) `x != 0`
2) `lim_(x -> oo) ((2x^3 + 1)/(x^2))/x = lim_(x -> oo) (2x^3+1)/x^2 = lim_(x -> oo) (2x^3+1)/x^3 = lim_(x -> oo) 2x^3/x^3 + lim_(x -> oo) 1/x^3 = 2 lim_(x -> oo) x^3 / x^3 = 2`
`k = 2`
`b = lim_(x -> 0+) ((2x^3+1)/(x^2) - 2)`

3) `y' = (6x^4 - 2x^4)/x^4 = 4`

А дальше не знаю.

запись создана: 01.12.2012 в 17:05

@темы: Функции, Пределы, Производная

Comments

[All_ex]

№1 а что исправлено по сравнению с предыдущим обсуждением?...

[All_ex]

№3...
п1. Где классификация разрыва... и проверка наличия вертикальной асимптоты...

п2. Почему при вычислении `b` написан предел в нуле?... и не до конца правильно написан сам предел... потеряли `x`...

п3. Где выяснение возрастания/убывания функции?... классификация экстремумов?...

п4. Где выяснение выпуклости функции?... и точек перегиба?...

Зачем Вы берёте пробные точки?... это абсолютно не нужно...

[Драгуняш]

Извините за долгое отсутствие - сдавал зачеты.

№1 а что исправлено по сравнению с предыдущим обсуждением?...

Переписано на чистовую с исправлением ошибок в пределах и производных, и просто вычислительных.

№3...

Сам прорешал вроде, не знаю, есть ли ошибки.

Функция определена на промежутках: `(-oo; 0) U (0; +oo)`
`x != 0`
`x = 0` - точка разрыва 2го рода

2)Уравнение наклонной ассимптоты: y = kx + b

`k = lim_(x -> + - oo) (2x^3 + 1) / x^3 = lim_(x -> + - oo) (2 + 1/x^3) = 2`
`b = lim_(x -> + - oo) ((2x^3 + 1)/x^2 -2x) = lim_(x -> + - oo) ((2x^3 + 1 - 2x^3)/x^2) = lim_(x -> + - oo) 1/x^2 = 0`

`y = 2x` - yравнение наклонной ассимптоты

3) `y' = (6x^2*x^2 - (2x^3+1)*2x)/x^4 = (6x^3 - 4x^3 - 2)/x^3 = (2x^3 - 2)/x^3`
`y' = 0` при `x = 1`, `y'' = oo` при `x= 0`

Если `x in (-oo; 0)`, то `y' >0`, а функция возрастает
Если `x = 0` то `y' = oo`, а `y = oo`
Если `x in (0;1)`, то `y < 0`, а функция убывает
Если `x = 1` то `y' = 1`, а `y = 3`
Если `x in (0;+oo)`, то `y' > 0`, а функция возрастает

4) `y'' = (6x62*x^3 - (2x^3 - 2)*3x^2)/x^6 = 6x^3 - 6x^3 + 6 = 6/x^4`
`y'' != 0`, `y'' = oo` при `x = 0`

Если `x in (-oo; 0)`, то `y' >0`, а функция U
Если `x = 0 `, то `y < 0`, а функция `oo`
Если `x in (0;+oo)`, то `y' > 0`, а функция U

5) кривая выпуклая на все области определения.
график пересекает ось в точке `(- sqrt(2)/2 ; 0)`

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Картинка с графиком

[All_ex]

№1, Переписано на чистовую с исправлением ошибок в пределах и производных, и просто вычислительных.
п2 - нет ответа при вычислении предела...

п5 - это должно быть в продолжении п3... там же не сказано, чем являются найденные критические точки...

п4 - где указание промежутков выпуклости и точек перегиба...

Нет нахождения нулей и промежутков знакопостоянства...

Пробные точки не считают... точным образом ставят нули, экстремумы и седловые точки, перегибы... А на отрезках проводят линию согласно качественному поведению графика (например, возрастает выпуклым вверх образом)....

[All_ex]

№3...
точка разрыва 2го рода - Это не показано... (нет вычислений пределов)...
Не классифицирована критическая точка...
Неверно найдена точка пересечения с ось...

Ну, в принципе, решение хорошее... график правильный..

[Драгуняш]

п2 - нет ответа при вычислении предела...
Видимо я лишний раз подставил бесконечность, ответ (12 - х^2)/8 ?

п5 - это должно быть в продолжении п3... там же не сказано, чем являются найденные критические точки...
Не понял что куда.

п4 - где указание промежутков выпуклости и точек перегиба...
Ну, от (-oo;0) U (0;+oo) - промежутки выпуклости
А 0 - точка перегиба
Так?

Нет нахождения нулей и промежутков знакопостоянства...

А это что тогда?

3)`y' = (-1/8)*3x^2 + 3/2 = (-3/8)x^2 + 3/2 = ((-3)x^2+ 12)/8 = (12-3x^2)/x`

`(12-3x^2)/8 = 0`
`12-3x^2 = 0`
`-3x^2 = - 12`
`3x^2 = 12`
`x^2 = 9`
`x1 = 2`
`x2 = - 2`

4)`y'' = (-3/4)x`
`(-3/4)x = 0`
`x = 0`

Пробные точки не считают... точным образом ставят нули, экстремумы и седловые точки, перегибы... А на отрезках проводят линию согласно качественному поведению графика (например, возрастает выпуклым вверх образом)....
Ну, нам говорили как можно точнее рисовать, поэтому не вижу неправильности в дополнительных точках, просто дополнительная и, может быть, лишняя работа.

[Драгуняш]

№3...
точка разрыва 2го рода - Это не показано... (нет вычислений пределов)...
`lim_(x -> - 0) f(x) = + oo`
`lim_(x -> + 0) f(x) = + oo`
Это требуется или что?

Не классифицирована критическая точка...
В смысле?

Неверно найдена точка пересечения с ось...
С этим мне помогли, поэтому я не знаю, что и откуда.

Ну, в принципе, решение хорошее... график правильный..
Ага, спасибо, тут вычисления не такие страшные, как во втором, когда я сейчас сел за него.

[All_ex]

п2 - нет ответа при вычислении предела...
Видимо я лишний раз подставил бесконечность, ответ (12 - х^2)/8 ? - Это не ответ... значение предела - это либо число, либо знак бесконечности... никаких иксов...

п5 - это должно быть в продолжении п3... там же не сказано, чем являются найденные критические точки...
Не понял что куда.

3)`y' = (-1/8)*3x^2 + 3/2 = (-3/8)x^2 + 3/2 = ((-3)x^2+ 12)/8 = (12-3x^2)/x`
`(12-3x^2)/8 = 0`
`x1 = 2`
`x2 = - 2`

Если `x in (-oo; -2]`, то y' <0, а функция убывает
Если `x in [-2;2]`, то `y'>0`, а функция возрастает
Если `x in [2;+oo)`, то `y' <0`, а функция убывает

`x = - 2` - точка минимума
`x = 2`- точка максимума

п4 - где указание промежутков выпуклости и точек перегиба...
Ну, от (-oo;0) U (0;+oo) - промежутки выпуклости выпуклости в какую сторону - вверх или вниз?.... здесь действия аналогичны исследованию на монотонность...


Нет нахождения нулей и промежутков знакопостоянства... - для самой функции...
А это что? - это исследование монотонности и выпуклости...

Ну, нам говорили как можно точнее рисовать, поэтому не вижу неправильности в дополнительных точках, просто дополнительная и, может быть, лишняя работа. - Очень лишняя...

[All_ex]

№3...
точка разрыва 2го рода - Это не показано... (нет вычислений пределов)...
`lim_(x -> - 0) f(x) = + oo`
`lim_(x -> + 0) f(x) = + oo`
Это требуется или что? - Это но с подробностями...

Не классифицирована критическая точка...
В смысле? - не сказано максимом или минимумом является точка `x=1`...

Неверно найдена точка пересечения с ось...
С этим мне помогли, поэтому я не знаю, что и откуда. - это этап исследования функции на знакопостоянство... приравниваете функцию к нулю и решаете уравнение...

[Драгуняш]

Это не ответ... значение предела - это либо число, либо знак бесконечности... никаких иксов...

Тогда до меня не доходит, что там должно идти дальше.

`x = - 2` - точка минимума `x = 2`- точка максимума

Так бы сразу и сказали, что минимум и максимум, а то "заумные" слова вроде:

Не классифицирована критическая точка...

не дошли абсолютно.

выпуклости в какую сторону - вверх или вниз?....
здесь действия аналогичны исследованию на монотонность...

Первая вниз, вторая - вверх.
Это же видно из графика.

Нет нахождения нулей и промежутков знакопостоянства... - для самой функции...

Но зачем оно нужно? В алгоритме нет такого жеж.

Но на всякий нашел, если так надо

`y = (-1/8)*x^3 + 3/2*x = 0`
`x(-1/8x^2 + 3/2) = 0`
`x = 0`
`-1/8x^2 + 3/2 = 0`
`-1/8x^2 = - 3/2`
`-x^2 = (-3/2)/(1/8)`
`-x^2 = - 12`
`x^2 = 12`
`x1 = sqrt(12)`
`x2 = - sqrt(12)`

Очень лишняя...

Это уже не мне решать, что требуют - то и делаю.

точка разрыва 2го рода - Это не показано... (нет вычислений пределов)...
`lim_(x -> - 0) f(x) = + oo`
`lim_(x -> + 0) f(x) = + oo`
Это требуется или что?
- Это но с подробностями...

Какими?

В смысле?
- не сказано максимом или минимумом является точка `x=1`...

Ну ладно, это в решение добавим, поняли.

это этап исследования функции на знакопостоянство...
приравниваете функцию к нулю и решаете уравнение...

И я все еще не понял, зачем это. Если мы этого не делали.

Ну да ладно, вот это приравнивание, но не уверен, что правильно.

`y = (2x^3+1)/(x^2) = 0`
`x^2 ! = 0`
`x ! = 0`
`2x^3 + 1 = 0`
`2x^3 = -1`
`x^3 = -1/2`
`x2 = - корень третьей степени (-1/2)`
`х2 = корень третьей степени (-1/2)`
Так?

[All_ex]

Это не ответ... значение предела - это либо число, либо знак бесконечности... никаких иксов...
Тогда до меня не доходит, что там должно идти дальше. - ответ...

`x = - 2` - точка минимума `x = 2`- точка максимума
Так бы сразу и сказали, что минимум и максимум, а то "заумные" слова вроде:
Не классифицирована критическая точка... не дошли абсолютно. - Ага... напишите фитюльку со стороны загогулинки... ... учите терминологию...

выпуклости в какую сторону - вверх или вниз?....
здесь действия аналогичны исследованию на монотонность...
Первая вниз, вторая - вверх.
Это же видно из графика. - Вы всё исследование проводите для построения графика... а не наоборот!

Нет нахождения нулей и промежутков знакопостоянства... - для самой функции...
Но зачем оно нужно? В алгоритме нет такого жеж. - Когда у Вас есть функция прибыли... то Вам важно знать положительная она или отрицательная?... для этого исследуется знакопостоянство...

Очень лишняя...
Это уже не мне решать, что требуют - то и делаю. - Сочуствую...

точка разрыва 2го рода - Это не показано... (нет вычислений пределов)...
`lim_(x -> - 0) f(x) = + oo`
`lim_(x -> + 0) f(x) = + oo`
Это требуется или что?
- Это но с подробностями... Какими? - Как получили бесконечность...

[Драгуняш]

Тогда до меня не доходит, что там должно идти дальше. - ответ...

Можно подсказку? А то туплю дико.

Ага... напишите фитюльку со стороны загогулинки... ... учите терминологию...

Будем, но сейчас не до того.

Вы всё исследование проводите для построения графика... а не наоборот!

Ну хорошо, пропишу как

тут

Если `x in (-oo; 0)`, то `y' >0`, а функция U
Если `x = 0 `, то `y < 0`, а функция `oo`
Если `x in (0;+oo)`, то `y' > 0`, а функция U
, верно?

Когда у Вас есть функция прибыли... то Вам важно знать положительная она или отрицательная?... для этого исследуется знакопостоянство...

Хорошо, пусть будет, не так уж и сложно это сделать.

Сочуствую...

Спасибо.

Как получили бесконечность...

Эм,

так?

lim_(x - > - 0) (2x^3+1)/x^2 = 0 + 1 = 1
lim_(x - > + 0) (2x^3 + 1)/x^2 = 0 + 1 = 1

[All_ex]

Можно подсказку? А то туплю дико. - `lim_{x to infty} x^2 = ....?`

Ну хорошо, пропишу как
Если `x in (-oo; 0)`, то `y' >0`, а функция U
Если `x = 0 `, то `y < 0`, а функция `oo`
Если `x in (0;+oo)`, то `y' > 0`, а функция U
, верно? только знак второй производной вычисляют... (описка видимо)..

lim_(x - > - 0) (2x^3+1)/x^2 = 0 + 1 = 1
lim_(x - > + 0) (2x^3 + 1)/x^2 = 0 + 1 = 1 - ... а делить кто будет?...

[Драгуняш]

`lim_{x to infty} x^2 = ....?` то опять все уходит в бесконечность же, или будет 2?

только знак второй производной вычисляют... (описка видимо)..

Верным будет:
Если `x in (-oo; 0)`, то `y'' >0`, а функция U
Если `x = 0 `, то `y < 0`, а функция `oo`
Если `x in (0;+oo)`, то `y'' > 0`, а функция U
?

а делить кто будет?...

А делить на ноль нельзя же?
Хотя хотелось бы...

[All_ex]

то опять все уходит в бесконечность же, или будет 2? - мне не понятны Ваши сомнения...

А делить на ноль нельзя же? - Так Вы не делите, а предел вычисляете от выражения, у которого знаменатель стремится к нулю... это и означают вспомогательные формальные записи типа `{1/0}`...

[Драгуняш]

то опять все уходит в бесконечность же, или будет 2? - мне не понятны Ваши сомнения...

Так вычисляем предел, а я взял производную, вот откуда 2.

Так Вы не делите, а предел вычисляете от выражения, у которого знаменатель стремится к нулю... это и означают вспомогательные формальные записи типа `{1/0}`...

Значит {1/0} и будет ответом?

[All_ex]

Так вычисляем предел, а я взял производную, вот откуда 2. - и зачем Вы это сделали?...

Значит {1/0} и будет ответом? - Нет это формальная подстановка, которая позволяет получать ответы в простых определённых предельных выражениях...

[Драгуняш]

и зачем Вы это сделали?...

Не знаю, запарился уже.
Но если 2 - это правильно, то как она получилась?

Нет это формальная подстановка, которая позволяет получать ответы в простых определённых предельных выражениях...

Но здесь же нет конкретного числа, к которому стремится х?

[All_ex]

Но если 2 - это правильно, - Кто Вам сказал?... это не правильно...
Формальная подстановка даёт `{ (infty)^2 } = ....?`

Но здесь же нет конкретного числа, к которому стремится х? - Так это уже и не важно... Важно к чему стремится числитель и знаменатель...

[Драгуняш]

Формальная подстановка даёт `{ (infty)^2 } = ....?`

Бесконечность в квадрате?

Так это уже и не важно... Важно к чему стремится числитель и знаменатель...

Значит она так и останется ответом, эта 1/0 или что?

[All_ex]

Какие-то могучие у Вас пробелы не уровне определения предела...

Бесконечность в квадрате? - Если бесконечно большое число Вы возводите в квадрат, то что получаете?...

Значит она так и останется ответом, эта 1/0 или что? - нет, конечно... рассмотрите значения `x=1/n to 0, \ \ n to infty`... вычислите предел `lim 1/x = {1/0} = ....?`...

[Драгуняш]

Какие-то могучие у Вас пробелы не уровне определения предела...

Это не пробелы, это тему как не понял толком, так и поползло.

Если бесконечно большое число Вы возводите в квадрат, то что получаете?...

1?

нет, конечно... рассмотрите значения `x=1/n to 0, \ \ n to infty`... вычислите предел `lim 1/x = {1/0} = ....?`...

Не понимаю я, что хотите от меня добиться

[All_ex]

Если бесконечно большое число Вы возводите в квадрат, то что получаете?... - 1? - ...


Это не пробелы, это тему как не понял толком, так и поползло. - Ну, есть повод разобраться... взять учебник и ещё раз прочитать...
Вы по какому учебнику занимаетесь?...

[Драгуняш]

Если бесконечно большое число Вы возводите в квадрат, то что получаете?... - 1? - ...

Я идиот, знаю

Ну, есть повод разобраться... взять учебник и ещё раз прочитать... Вы по какому учебнику занимаетесь?...

Мы больше по методичкам авторства преподавателя, но учебник лежит Шипачева, высшая математика, который даже не открывался.

оффтоп

Впрочем, я уже сдал, без третьего, что было, до зачета допустили, который писали сегодня же, а зачтут ли такую работу - даже не знаю.