[yuliya92]

помогите пажалуйста с решением. Найти производные dy/dx, используя формулы дифференцирования.
1.`y=(tg(3x))^cos(x)`
2.`y= (3^(tg(x)) - tg(3x))^4`
3.`y= In root(5)((5x-1)/(5x+1))`
4.`y=sin (arcsin sqrt(x))`
5. `y=sqrt(3x^4-2x^3+x) - (4/(x+2)^3)`

@темы: Производная

Comments

[~ghost]

yuliya92, без Ваших попыток - не-а, не поможем...
Рассказывайте, что делали, и что получилось..
В первом - если все именно так в условии - `tg(3x)` возводится в степень, которая тоже содержит `x` (в степень `cos(x)`) - то тогда "логарифмическая производная" - т.е. сначала рассмотрите функцию `y_1(x) = ln(y)`, и найдите ее производную по `x`, а потом вернетесь к исходной ф-ии `y`, зная что `(y_1)'_x = (ln(y)) '_x = (1/y)*y '_x` (т.е. найденную производную `(y_1) '_x` приравняете к `(1/y)*y '_x` и отсюда уже получите `y '_x`)
Все остальные - на "производную от сложной функции" (и на применение таблицы производных..)

P.S. хотя, наверное, это все уже будет не сейчас.. (сейчас я тоже ухожу..)

[All_ex]

Какая-то незнакомая миру функция используется в третьем задании...

[~ghost]

незнакомая миру функция

— но мне ночью было уже все равно =)
логарифм - наверное

[yuliya92]

так оп 4 и 5 у меня получилояь:
4.`cos(x)(arcsin(sqrt(x)) * 1/sqrt(1-x^2) * 1/(2sqrt(x))`
5.`(1/(2sqrt(3x^2-2x^3+x))) * (12x+6x+1) - (4/(3x-6x+3))

[All_ex]

так оп - ... это в смысле "опаньки"...

В 4) что-то загадочное у Вас набрано... и точно не правильно...

В 5) неправильно набрали подкоренное выражение и производную от него... (но тут видимо опечатки)...
Производная второго слагаемого совсем неверно...

[yuliya92]

A почему? Подскажите какую формулу использовать в 1,2 и 3)))

[All_ex]

Вы по порядку показывайте свои попытки... будем обсуждать...

Начнём с первого задания... прочитайте комментарий ~ghost... там всё написано...
Ждём Ваше решение этого номера...

[yuliya92]

меня очень смущает это степень с х. потому что я таких никогда не решала....

[All_ex]

А функцию `e^x` встречали?...

[yuliya92]

так применяя формулы, как умея, получилось
(1/((tg(3x))^cos(x))) * (1/cos^2(x))^-sin(x)

[All_ex]

yuliya92, обратите тут eek.diary.ru/p164249281.htm внимание на пункт 8...

1) Если Вам не нравится использование логарифмической производной.... то запишите функцию как`y=(tg(3x))^cos(x) = e^{cos(x)*ln(tg(3x))}` и продифференцируйте её как сложную функцию...

[~ghost]

В 01:38 — не так же..
Доброй ночи всем..
yuliya, ну что Вы делаете..? )) если переменная (по которой берем производную) `x` есть и в основании, и в показателе степени - то низя просто приписывать производные "там и там" (и в основании, и в показателе..)
Есть 2 варианта оформления примеров такого типа.. (смысл - все равно одинаковый..)
Вам надо "выровнять в одну строчку" - чтобы перем. `x` была "в одной строке", чтобы `x`-а не было в показателе..Делается по формуле: `ln(a^p) = p*ln(a)`, т.е. нужен логарифм..
(Один из вариантов оформления) "Вместо" заданной ф-ии сначала рассматриваем функцию `y_1(x) = ln(y(x))`, т.е. `y_1(x) = ln(tg(3x))^(cos(x))= ...` — примените формулу..
(Другой вариант оформления (того же решения) - в комментарии All_ex )

[yuliya92]

так у меня получилось `e^-sin(x) * ln (tg(3x)) * 1/(tg(3x)) * 1/(cos^2(3x)) * 3`

[All_ex]

Во-первых, экспонента при дифференцировании не меняется... а умножается на производную от её степени...
Во-вторых, что это у Вас всё поумножено?... ... Вы формулу производная от произведения знаете?

[~ghost]

warning вообще-то 1-ый пример здесь самый сложный.. ну да ладно..
yuliya92, не то..
Взяли способ оформления через `e` " в степени". (Тогда "дополнительных" функций никаких не надо - но сами записи чуть более "многоэтажные"..но это не важно..) Тогда`y(x) =e^(ln((tg(3x))^cosx)) = ` по формуле, которую я записывала ( в 01:46) имеем: `ln((tg(3x))^(cosx)=cos(x)*ln(tg(3x))`, поэтому будет: `= e^(cos(x)*ln(tg(3x))) ` — это еще сама функция..("выровняли" `x` в одну строку..) Теперь производная - от сложной функции..
Последовательность действий с `x`: сначала "собрали" какое-то выражение `f(x) = cos(x)*ln(tg(3x))` (то, что является степенью `e`), и потом возвели `e^(f(x))`— сложная функция (одно действие - это `f(x)` {хотя здесь еще и в самом `f(x)` действий несколько.. но это потом}, и еще одно действие - возведение `e` в степень..) Производная от сложной функции:
`(e^(f(x))) ' = e^(f(x))*f ' (x)` - т.к. производная "от возведения `e` в степень" - это то же самое `e` в той же степени.. и т.к. сам показатель степени `f(x)` еще зависит от `x` - то еще умножаем на производную от самой ф-ии `f(x)`.
Т.е. `y ' = e^(cos(x)*ln(tg(3x)))*[cos(x)*ln(tg(3x))] ' =...` - скобки [ ] особого значения не имеют, я обозначила то, от чего еще надо брать производную..
теперь выпишите себе отдельно эту производную `(cos(x)*ln(tg(3x))) ' = ..` — производная от произведения (формулу знаете ?)

[yuliya92]

значит получиться `e*..` умноженная на то что в степени? а про умножение, так это нам так преподаватель объяснил а премере..

[~ghost]

yuliya, у Вас установлен скрипт (для отображения формул) ? если нет - то лучше попробуйте установить.. иначе Вы можете просто не прочитать все эти наши записи "с кучей скобок"..
eek.diary.ru/p103173149.htm

[All_ex]

значит получиться `e*..` умноженная на то что в степени? - Получится `e` в той же степени, что была... и умноженная на производную от степени...

а про умножение, так это нам так преподаватель объяснил а премере.. - Ну, наверное, объясняли правильно, а Вы так поняли...

[~ghost]

про умножение, так это нам так преподаватель объяснил

— скорее всего, там (в примере у преподавателя) была сложная функция, состоящая из "многих" функций - длинная последовательность действий ( с одним `x`), тогда действительно все время умножаем на производные "от каждой следующей функции" (.. на словах как-то не совсем верно звучит.. действительно на примере проще);
об этом умножении я и написала ( в 02:37)
`(e^(f(x))) ' = (e^(f(x)))*f ' (x) ` - производную от `e` в степени (которая и остается тем же самым `e` в той же степени) умножаем на производную от `f(x)`

[yuliya92]

со вкриптом всё более понятно получилось `-sin(x) * In(tg(3x)) + cos(x) * 1/(tg(3x))` вот только не понятно что делать с `tg(3x)` оставлять так или тоже находить производную?

[All_ex]

yuliya92, это не `In`... Это `Ln` (а точнее `ln`) - натуральный логарифм....
`-sin(x) * In(tg(3x)) + cos(x) * 1/(tg(3x))` вот только не понятно что делать с `tg(3x)` оставлять так или тоже находить производную? - Умножать на производную... поскольку это сложная функция...

[yuliya92]

ответ будут в виде ` -sin(x) * ln(tg(3x)) + cos(x) *1/(tg(3x)) * 1/(cos^2(3x))` ?

[All_ex]

Забыли, что есть ещё аргумент `(3x)`...

[yuliya92]

и умножить на 3?

[All_ex]

и умножить на 3? -
Теперь полученное выражение умножаем на исходную функцию... и получаем ответ в №1...

[yuliya92]

Наконец-то Спасибо!!!

[yuliya92]

а по 2-му, как вот со степенью поступить?

[All_ex]

а по 2-му, как вот со степенью поступить? - Есть стандартные формулы... `(u^k)'=...?` и `(a^u)'=...?`...где `u = u(x)` - произвольная функция...

[Гость]

` (u^k)' = k *( u^k-1)` - эту применить к общей степени, т.е. к `4`
` (a^u)' = a^u * (ln (a*u))` - эту к `3^(tg(x))`

[~ghost]

Доброго времени всем)
Возвращаясь к 1-ому (да, там уже все o'k) - но я бы еще "доделала"..
последнее слагаемое: `cos(x)*(1/(tg3x))*(1/((cos3x)^2))*3 = (3cos x)/(((sin3x)/(cos3x))*(cos3x)^2) = (3cosx)/(sin3x*cos3x) = (3cosx)/((1/2)*sin6x) = (6cosx)/(sin6x)`;
т.е. ответ ( в 1-ом): `y ' = e^(cosx*ln(tg3x))*[ -sinx*ln(tg3x) + (6cosx)/(sin6x) ]`
или так (то же самое): `y ' = (tg3x)^cosx *[ -sinx*ln(tg3x) + (6cosx)/(sin6x) ]