Неравенство и функциональное уравнение (?)

[Rainbell]

1. Доказать неравенство `a/(1+a) < ln(1+a)` для положительных a.

Была такая идея: посчитать производные и сказать, что справа растёт быстрее, при этом "начинаются" обе функции в начале координат.
`(a/(1+a))' = 1/(a + 1)^2`
`ln(1+a)' = 1/(1+a)`

Т.к. a > 0, a + 1 > 1, т.е. действительно, вторая функция растёт быстрее. Это правильно?

2. `g(0) = 5, g(1) = 3, g'(x) >= -2` для всех x принадлежащих (0,1). Нужно найти функцию g.

Никаких идей, к сожалению, пока нет.

Заранее спасибо.

@темы: Математический анализ, Производная

Comments

[Гость]

1. Верно.
2. Если Вы построите прямую, проходящую через указанные две точки, то какая производная у нее будет?

[Epygraph]

1) Правильно.
2) Рассмотрите функцию `f(x)=g(x)+2x`.

[Rainbell]

Всем спасибо!

Да, понимаю, что у этой прямой ( y = -2x + 5 ) производная будет как раз -2. Но, как бы глупо это не звучало, не понимаю, как доказать, что другие функции не подходят :/

[Epygraph]

Да, понимаю, что у этой прямой ( y = -2x + 5 ) производная будет как раз -2. Но, как бы глупо это не звучало, не понимаю, как доказать, что другие функции не подходят :

Вам же посоветовали рассмотреть функцию `f(x)=g(x)+2x`. Для этой функции `f(0)=f(1)=5` и `f'(x)\ge 0` на интервале `(0,1)`. Отсюда `f` не убывает, следовательно, `f(x)\equiv 5`. Поэтому единственная подходящая непрерывная на `[0,1]` и дифференцируемая на `(0,1)` функция есть `g(x)=-2x+5`.