Помогите решить задачу

[keyson]

Даны три некомпланарных вектора a,b,c. Найти вектор x, удовлетворяющий системе уравнений
(а,х)=альфа (b,x)=бетта (с,х)=гамма
`{((vec(a), vec(x)) = alpha), ((vec(b), vec(x)) = beta), ((vec(c), vec(x))= gamma):}`
Я даже не понимаю с чего начинать? То что вектора некомпланарны говорит о том что они не лежат в одной плоскости, надо ли здесь раскрывать это скалярное произведение?

@темы: Системы линейных уравнений, Векторная алгебра

Comments

[All_ex]

`[b,c] (a_1*x_1 + a_2*x_2 + a_3*x_3) = alpha [b,c]` ... ну, здесь согласен...
Теперь складывайте равенства и приводите подобные в левой части...

[keyson]

А что дальше? Я просто теперь не знаю как все это свернуть

[keyson]

А вот то что в скобках, когда вынесешь х, то там будет смешанное произведение?

[All_ex]

Там не надо сворачивать... Там надо показать, что при `k`-ой координате вектора `vec(x)` стоит соответствующий базисный вектор, умноженный на смешанное произведение векторов `vec(a)`, `vec(b)`, `vec(c)`...

[keyson]

Но так там же, векторное произведение умножается на одну из координат векторов а,b,c, то это же не будет смешанное произведение?

[All_ex]

Смешанное произведение это число... в здесь получается вектор...

[keyson]

То есть вот эта скобка что будет значить, (а(х)*[b,x]+b(x)*[a,c]+c(x)*[a,b])?

[All_ex]

После сложения равенств и приведения подобных `sum_{n=1}^{3} x_n* (a_n*[vec(b), vec(c)] + b_n*[vec(c), vec(a)] + c_n*[vec(a), vec(b)] ) = alpha*[vec(b), vec(c)] + beta*[vec(c), vec(a)] + gamma*[vec(a), vec(b)]`

Так вот надо показать, что, например, при координате `x_1` стоит вектор `a_1*[vec(b), vec(c)] + b_1*[vec(c), vec(a)] + c_1*[vec(a), vec(b)] ` равный `V*vec(i) = (V;0;0)`, где `V` - это смешанное произведение...
Аналогично, для векторов при других координатах...

Если это доказать, то слева получаем `x_1*V*vec(i) + x_2*V*vec(j) + x_3*V*vec(k) = V*(x_1*vec(i) + x_2*vec(j) + x_3*vec(k) ) = V*vec(x)`... откуда (в совокупности с ранее полученной правой частью) и получается Ваша формула...

[All_ex]

Мдя... похоже я увёл Вас в дебри....
Это решение правильное, но длинное...

Надо было рассмотреть исходные равенства как СЛУ относительно `x_1, x_2, x_3` .. и найти решение по формулам правила Крамера...
Откуда получим, что `x_1 = 1/V *( alpha*[vec(b), vec(c)]_1 + beta*[vec(c), vec(a)]_1 + gamma*[vec(a), vec(b)]_1 )`, где множителями стоят первые координаты соответствующих векторных произведений...
И там дальше всё очевидно...


Но если есть желание, то предыдущий способ тоже можно доьить...

[keyson]

Я не поняла второй абзац(

[All_ex]

Рассматриваем СЛУ
`{(a_1*x_1 + a_2*x_2 + a_3*x_3 = alpha),(b_1*x_1 + b_2*x_2 + b_3*x_3 = beta),(c_1*x_1 + c_2*x_2 + c_3*x_3 = gamma):}`

`det A = |(a_1,a_2, a_3),(b_1,b_2, b_3),(c_1,c_2,c_3)| !=0` так как это смешанное произведение некомпланарных векторов...

`Delta_1 = |(alpha,a_2, a_3),(beta,b_2, b_3),(gamma,c_2,c_3)| = alpha*[vec(b), vec(c)]_1 + beta*[vec(c), vec(a)]_1 + gamma*[vec(a), vec(b)]_1`

Ну, и так далее....